精品解析：河北省沧州市青县青县第三中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列选项中，计算结果与其它三项不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减和减法，逐项计算后即可得出结果. 【详解】解：A．； B．； C．； D．； 则的计算结果与其它三个式子的计算结果不同， 故选：A． 2. 下列数轴表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断． 【详解】解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； C、没有原点，故表示错误； D、符合数轴的定定义，故表示正确； 故选D． 【点睛】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点坐标是为，，即． 故选：C． 5. 如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，从而求出，即可的正切值． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中， ∵，，， ∴由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可知，代入计算即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（　　） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】因为＋|b－8|＋(c－10)2＝0， 所以有(a－6) 2 =0， ，|c－10|=0， 所以a=6，b=8，c=10，因为 a2+b2=c2 ， 所以△ABC的形状是以c为斜边的直角三角形， 故选C 8. 下列多项式能用完全平方公式分解的有 （ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是运用完全平方公式进行因式分解的能力，根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 【详解】解：（1） 中，乘积项不是，不能运用完全平方公式； （2） ，符合题意； （3） ，乘积项不是，不符合能用完全平方公式； （4），符合题意； 所以（2）（4） 能用完全平方公式分解，共2个． 故选：B． 9. 如图，AB是的直径，，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合），，垂足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明∠PAC＝∠BPC，则，进而求解． 【详解】解：∵AB是直径，则∠APB=90°， 则∠BPC＋∠APC=90° 而∠APC＋∠PAC=90°， ∴∠PAC=∠BPC， 则tan∠PAC=tan∠BPC， ∴，即， ∵点M是PC的中点，则， 则， ∴（0<x<4）， 可知y与x之间的函数图像不是一次函数，故排除C， 当x=1时，，故排除D， 当x=3时，，故排除A， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，确定函数的表达式是解题的关键． 10. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 11. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】过M作ME⊥AD于E， ∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点， ∴∠MDE=∠MDC=∠CDA，∠MAD=∠MAB=∠BAD， ∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°， ∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°， ∴∠AMD=180°-（∠MDA+∠MAD）=90°，∴①正确； ∵DM平分∠CDE，∠C=90°，ME⊥DA， ∴MC=ME，同理ME=MB， ∴MC=MB=ME=BC，∴②正确； ∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确； ∵在Rt△DEM和Rt△DCM中，MD=MD，ME=MC， ∴Rt△DEM≌Rt△DCM，∴DE=DC，S△DEM=S△DCM， 同理AE=AB，S△AEM=S△ABM， ∴AD=AE+ED=AB+CD；S△AMD=S△DEM+S△AEM=S梯形ABCD，∴③④正确. 综上①②③④⑤都正确，故选D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直边构造等腰，再以为直角边构造等腰，再以为直角边构造等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OA1033＝，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A1033在x轴负半轴，即可确定点A1033的坐标． 【详解】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…， ∴OA1＝，OA2＝，OA3＝，……，OA1033＝， ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， 1033＝8×129+1， ∴点A1033在x轴负半轴， ∵OA1033＝， ∴点A1033的坐标为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点E、F分别是边的中点，量得米，则的长是______米． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了中位线．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半． 14. 如图，为的直径，，点C为上一点，连接，，平分交于，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再利用正切的定义得到，则设，，则，所以，解方程得到，，连接、，过A点作于H，如图，证明为等腰直角三角形得到，接着计算 ，然后利用勾股定理计算出，最后计算即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， 在中，， 设，，则， ，解得， ，， 连接、，过A点作于H，如图， ∵平分交于D， ， ， ∴等腰直角三角形， ， 在中，， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 15. 如图，直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，点B为线段OD上的一个动点（不与O、D重合），点B关于直线CD的对称点B′恰好落在反比例函数的图象上，连接CB，CB′，BB′，B′D，当tan∠CBB'＝2时，k的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用与关于直线对称，可得为的中点，根据直线的解析式求得的坐标，则得线段的长，利用勾股定理求得线段的长，根据tan，可得，设，则，利用△DBA∽△DCO列出比例式，求得 ，这样线段可求，再利用△CAE∽△CDO，可求得线段，由 为的中点，点坐标可以求得，再利用待定系数法，值可求． 【详解】解：过点A作AE⊥OC于点E，过点B′作B′F⊥OC于点F，如图， ∵BO⊥OE，AE⊥OE， ∴． ∵B与B′关于直线CD对称， ∴CD垂直平分线段BB′，即A为BB′的中点． 令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝3． ∴D（0，4），C（3，0）． ∴OD＝4，0C＝3． ∴CD＝． ∵， ∴设BA＝a，则AC＝2a，DA＝5﹣2a． ∵∠DAB＝∠DOC＝90°，∠BDA＝∠CDO， ∴△DBA∽△DCO． ∴． ∴． 解得：a＝1.5，BD＝2.5． ∴AC＝3，OB＝OD﹣BD＝1.5． ∵， ∴△CAE∽△CDO． ∴． ∴． 解得：AE＝，CE＝． ∴OE＝OC﹣CE＝． 设 解得： ∴B′． ∴k＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，一次函数图像上点的坐标特征，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16. 已知关于的函数的图象与轴只有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】由可得：或，然后分两种情况进行求解即可； 【详解】由可得：或， 当，即时，符合题意； 当与异号，即或时，符合题意， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，立方根和数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先根据算术平方根、有理数的乘法和立方根的定义化简各数，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示为： ． 18. 已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根． (2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 【答案】(1)见解析；(2)m=-1,-3. 【解析】 【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值． 【详解】解: （1）∵m≠0， ∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2， ∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）∵x= ， ∴x1=-，x2=1， ∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m=-1或-3． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 19. 如图，∠AOB内有一点P． （1）根据下列语句画出图形： ①过点P画交OA于点C，画交OB于点D； ②过点P画PE⊥OA，垂足是点E； （2）在（1）的条件下，若∠AOB＝60°，求∠CPE的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠CPE=30° 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）求出∠PCE=60°，再利用三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 ∵， ∴∠PCE＝∠AOB＝60°， ∵PE⊥OA， ∴∠PEC＝90°， ∵ ∴∠PCE＝∠CPD＝60°，∠DPE＋∠PEC＝180° ∴∠DPE＝90°， ∴∠CPE＝∠DPE－∠CPD＝90°－60°＝30°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图， 是的直径， 与相切于点B ， 是的弦， ，延长、相交于点 （1）求证：是的切线； （2）若A恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（阴影部分为 在圆外的部分，结果保留 ） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明．则根据可判断，所以．再根据切线的性质得，则，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线性质得：，由勾股定理可求解的长，证明是等边三角形，最后根据面积差可得结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图1， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在△COD和△COB中， ， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵，A是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形 ，请你画出三角形； （2）请直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 22. 如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… （1）求256的四次方根； （2）计算； （3）一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据是四次方根的定义即可求出答案； （2）根据是四次方根及五次方根的定义即可求出答案； （3）根据是六次方根的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：， 的四次方根为； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 ∵a的六次方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴． 23. 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； （2）拓展：把代数式因式分解： 当________________时，代数式 【答案】（1） （2），或1 【解析】 【分析】（1），再运用平方差公式可得； （2）由得，根据分组分解法及平方差公式分解为，进一步可得结果. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 由得 ， ， ， ， 或， 所以，当或1时，的值为0． 【点睛】本题考查因式分解法的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键 24. 已知中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． （1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） （2）当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）关系式仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了； （2）还将沿直线对折，得，连，只需证，得出，再证明，然后由勾股定理即可证明． 【小问1详解】 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴在中，由勾股定理 ∴，即． 【小问2详解】 解：关系式仍然成立． 证明：∵将沿直线对折，得，连， ∴． ∴，，，， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列选项中，计算结果与其它三项不同的是（　　） A B. C. D. 2. 下列数轴表示正确的是（ ） A B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，O都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（　　） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 8. 下列多项式能用完全平方公式分解的有 （ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 如图，AB是的直径，，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合），，垂足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直边构造等腰，再以为直角边构造等腰，再以为直角边构造等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点E、F分别是边的中点，量得米，则的长是______米． 14. 如图，为的直径，，点C为上一点，连接，，平分交于，若，则的长为______． 15. 如图，直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，点B为线段OD上一个动点（不与O、D重合），点B关于直线CD的对称点B′恰好落在反比例函数的图象上，连接CB，CB′，BB′，B′D，当tan∠CBB'＝2时，k的值为__________________． 16. 已知关于的函数的图象与轴只有两个公共点，则的取值范围是_____． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 18. 已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根． (2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 19. 如图，∠AOB内有一点P． （1）根据下列语句画出图形： ①过点P画交OA于点C，画交OB于点D； ②过点P画PE⊥OA，垂足是点E； （2）在（1）的条件下，若∠AOB＝60°，求∠CPE的度数． 20. 如图， 是的直径， 与相切于点B ， 是的弦， ，延长、相交于点 （1）求证：是的切线； （2）若A恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（阴影部分为 在圆外的部分，结果保留 ） 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形 ，请你画出三角形； （2）请直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 22. 如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… （1）求256的四次方根； （2）计算； （3）一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 23. 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； （2）拓展：把代数式因式分解： 当________________时，代数式 24. 已知中，，，有一个圆心角为，半径长等于的扇形绕点C旋转，且直线，分别与直线交于点M，N． （1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：； （思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．） （2）当扇形绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $