精品解析：江苏省苏州市相城区春申中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试卷

2024 - 2025学年度第二学期学科素养竞赛（一） 七年级数学 （共27题，满分130分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（  ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 4. 若，则m的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 10 5. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 7. 如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 8. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2000 D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为__________________． 12. 已知，则的值为______． 13. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示： ，实际时间是___________． 14. 若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是______ 15. 如图，所在直线是的对称轴，点是上的两点，已知图中阴影部分的面积为9，则的面积为_______． 16. 已知，则的值是________． 17. 已知是完全平方式，则______． 18. 如图，已知正方形与正方形的面积之差为36，则阴影部分面积为___________． 三、答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算（第2小题用简便方法计算）： （1） （2） 21. 先化简，再求值：其中，． 22. 已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图． （1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； （2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 23. 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请逆向运用幂的运算法则解决下列问题： （1） ； （2）若，则 ， ； 求的值． 24. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 25. 如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 26. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． （1）利用公式解答下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求的值． （2）如图2，四边形的对角线与相交于点，已知，若，求的面积． 27. 现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题 （1）填空：______； （2）若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）求的值，其中； （4）如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 - 2025学年度第二学期学科素养竞赛（一） 七年级数学 （共27题，满分130分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A. 是利用中心对称设计的，不合题意； B，C是利用轴对称设计的，不合题意； D. 是利用平移设计的，符合题意. 故选D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，计算正确； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：B． 3. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 4. 若，则m的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题多项式乘以多项式法则，把展开得，得出，即可得m的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】把变形为，再代入，利用完全平方公式计算，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 7. 如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 8. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质、等腰三角形判定与性质、角的和差等知识，根据旋转性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质得到，结合邻补角定义，数形结合表示角的和差是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 故选：D． 10. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2000 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 已知，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 13. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示： ，实际时间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 14. 若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是______ 【答案】 【解析】 【分析】已知与单项式的积是，求，用除法，即，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可得到答案． 此题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解： 所以 故答案为： ． 15. 如图，所在直线是的对称轴，点是上的两点，已知图中阴影部分的面积为9，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称图形的性质求解．由题意得出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：∵关于直线对称， ∴、关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∵图中阴影部分的面积为9，即， ∴的面积是：， 故答案为：18． 16. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整体代入法，能够熟练进行多项式乘以多项式是解决问题的关键． 由得，再把计算乘法再适当变形，整体代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为：． 17. 已知是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】是完全平方式， ， ， 故答案为： 18. 如图，已知正方形与正方形的面积之差为36，则阴影部分面积为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，再根据得到即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， 所以 ． 故答案为：18． 三、答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加法即可得； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后计算同底数幂的除法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算（第2小题用简便方法计算）： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键． （1）先计算完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22. 已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图． （1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； （2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】（1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示； （2）△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【解析】 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 23. 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请逆向运用幂的运算法则解决下列问题： （1） ； （2）若，则 ， ； 求的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法与除法，掌握相关运算性质是解题的关键． （1）根据积的乘方进行求解即可； （2）根据积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法以及除法进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ，， ． 24. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 25. 如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转中心是，旋转角是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【小问1详解】 解：旋转中心是，旋转角是； 【小问2详解】 延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【小问3详解】 ， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 26. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． （1）利用公式解答下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求的值． （2）如图2，四边形的对角线与相交于点，已知，若，求的面积． 【答案】（1）①25；②29 （2）34 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）①根据代入计算即可； ②根据题意可得，根据进行计算即可； （2）设，由题意可得，，根据，求出即可求出的面积． 【小问1详解】 解：①已知， 将代入，可得． 已知，把值代入上式得：； ②令， 根据，则． 因为，所以． 又已知， 则， 移项可得； 【小问2详解】 解：设， 因为，即，所以， ， 已知，即，两边同乘得， 根据，可得， 把代入得：， ，把代入得． 27. 现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题 （1）填空：______； （2）若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）求的值，其中； （4）如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】（1） （2）0.2 （3） （4）24 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； 【小问4详解】 解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $