精品解析：福建省龙岩市长汀县第四中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

长汀四中2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学科试题 考试范围：八下数学16.1-18.1；考试时间：120分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，求立方根，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，故不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，被开放数为负数，不是二次根式，故不符合题意； D、，不是二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∴， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； C、可设，，， ∴，， ∵ ∴ ∴该三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D ． 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=16，BD=24，AC=12，则△OBC周长为(　　) A. 26 B. 34 C. 40 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16，即可求出△OBC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16， ∴△OBC的周长=OB+OC+AD=6+12+16=34． 故选：B． 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 6. 如图，在数轴上点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 如图，， ， 在原点左边， 表示的数为． 故选：B． 7. 点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．首先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿着直线翻折，使点C落在斜边上的点E处， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 故选：D． 9. 已知满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件判断出的取值范围，再进行计算即可． 【详解】解：∵有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2． 【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45， ∴， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴， ∵⊥，∠ACB=45， ∴， 当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则，即可求解． 【详解】原式= = =3． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． 12. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得：且． 故选：且 13. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题． 由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 又平分， ， ， ， 即． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，，按一下步骤作图：①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理的逆定理，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图得到，于，由勾股定理逆定理证得，由三角形的面积公式求出，利用勾股定理计算出，即可计算出． 【详解】解：，， ， ， 由作法得垂直平分， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 15. 如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【解析】 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 16. 若，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三.解答题（本题共 9 小题，共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 已知，． （1）求代数式的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的化简计算，关键是正确把分式化简． （1）直接代入、的值，根据平方差公式计算可得答案； （2）首先把代数式化简，化简后，再代入、的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：， 把，代入可得原式． 19. 已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【小问1详解】 ∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画，使三边长分别为，，．并直接写出的面积 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，2 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图中画线段和三角形，勾股定理及其逆定理等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用网格和勾股定理（）即可画图； （2）利用网格和勾股定理画出三角形，利用勾股定理的逆定理判定出直角三角形，然后求出面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，，则线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 此时，的面积为． 21. 如图，在中，，D是上的一点，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：，，， ， ， 故是直角三角形； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， ， 解得， 故． 22 阅读下列材料，然后解答问题： 定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的二倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断： ①等边三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”）． ②若某三角形的三边分别为1，，4，则该三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”） （2）在中，三边分别为a，b，c，且，，则这个三角形是不是奇异三角形，如果不是，请说明理由；如果是，求出b的值． 【答案】（1）①是；②不是 （2）故当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，等边三角形的性质，奇异三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的三边相等，奇异三角形的定义进行判断即可； ②根据奇异三角形的定义进行判断； （2）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理，奇异三角形的定义进行判断． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为，则 等边三角形是奇异三角形； 故答案为：是； ②，， ∴； 又， 故该三角形不是奇异三角形； 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：当为斜边时，则 则，； 不是奇异三角形； 当为斜边时， 则有 是奇异三角形； 故当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形． 23. 阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较，大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；； （2）解： ． （3）． 理由如下： ∵， ， ∵， ∴， ∴． 24. （1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 【答案】（1）直角三角形；（2）①135度；② 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用旋转的性质得，，则为等边三角形，所以，由已知可得，，接着利用旋转的定义可把绕点逆时针旋转得到，于是得到，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，； （2）①将绕点顺时针旋转得到，如图②，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以； ②利用为等腰直角三角形得到，再判断点、、共线得到为直角三角形，然后利用的面积进行计算． 【详解】解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； （2）①连接， ∵将绕点顺时针旋转得到，如图②， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ； ②为等腰直角三角形， ， 而； ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 25. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求． 【答案】（1）见解析 （2）24 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式； （2）设，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四个三角形面积计算即可； （3）设四边形MTKN的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD面积为8x+y，根据进行计算可得，即为的值． 【小问1详解】 法一：， 另一方面，， 即，则． 法二： 另一方面， ∴ 整理得： 【小问2详解】 ， 设，依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 小问3详解】 将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形和正方形面积应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长汀四中2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学科试题 考试范围：八下数学16.1-18.1；考试时间：120分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=16，BD=24，AC=12，则△OBC周长为(　　) A. 26 B. 34 C. 40 D. 52 6. 如图，在数轴上点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2024 D. 2023 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：_______． 12. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 13. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于__． 14. 如图，在中，，，，按一下步骤作图：①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线交于点，则的长为________． 15. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 16. 若，则的值是__________ 三.解答题（本题共 9 小题，共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，． （1）求代数式的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 19. 已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画，使三边长分别为，，．并直接写出的面积 21. 如图，在中，，D是上的一点，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 22. 阅读下列材料，然后解答问题： 定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的二倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断： ①等边三角形不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”）． ②若某三角形三边分别为1，，4，则该三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”） （2）在中，三边分别为a，b，c，且，，则这个三角形是不是奇异三角形，如果不是，请说明理由；如果是，求出b值． 23 阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 24. （1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 25. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$