精品解析：2025年安徽省合肥市第二十九中学中考模拟数学试卷

2025年中考模拟数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列4个数中最小的是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 最小， 故选：D． 2. 根据统计部门公布的数据，2025年1-2月份，安徽全省共实现地方财政收入883.5亿元，较上年同期增加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健．其中883.5亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法.直接根据科学记数法的表示方法作答即可. 【详解】883.5亿 故选：B. 3. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与题目图形进行比较即可． 【详解】解：A选项的俯视图是一个长方形，故本选项不符合题意； B选项的俯视图是一个长方形中间有一个长方形，故本选项不符合题意； C选项的俯视图是一个长方形右面有个小的长方形，故本选项符合题意； D选项的俯视图是一个长方形后面有个小的长方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．利用单项式与单项式的乘法、单项式与单项式的除法、幂的乘方运算法则，逐一计算作出判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，、不同类型，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，为其对角线，于点．延长至点，使，线段与的延长线交于点．若，，．求的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理．利用平行四边形的性质结合正切函数的定义求得，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理列式得到，求得，作交于点，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， 在中，，， ∴，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， 作交于点， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故选：C． 6. 编号为1、2、3、4的4个小球，不放回的抽取两次，记表示这两个球号码的平均数，记表示抽取第一个球的号码，则与差的绝对值超过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率的应用，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 画树状图，得到共有种等可能的结果，其中与差的绝对值超过的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图得：共有种等可能的结果，其中与差的绝对值超过的结果有种， 与差的绝对值超过的概率是， 故选：B 7. 已知直线经过点，若点也在该直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据题意把代入，解得，即，然后把分别代入，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴把代入， 即， 解得， 即， 把分别代入， 得出，， ∴． 故选：A． 8. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（ ） A B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，先求得，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴， 解得：， 故点，代入一次函数，解得：，一次函数， 函数图象如图， ∴的解集为， 故选：A． 9. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立与长度的函数关系。 作，，利用正方形性质得出是等腰直角三角形，得到线段、、、关于的表达式，证明四边形是正方形,通过角度关系证明，得出,在中，结合勾股定理得到，再在中求出关于的表达式，进而得到关于的函数关系式，根据函数性质确定图象。 【详解】解：过点作于点，交于点；过点作于点． ∵四边形是正方形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形边长为， ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，即． ∵，且， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， ∵， ∴． 在中， ， 将，代入可得： 则， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 10. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的公式，根据直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 12. 要使有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数， 因此可得， 解得． 13. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键． 【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7， ， 根据题意可得， 则设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 的周长为， ， ， ， 每个直角三角形的周长介于和之间， ， 故答案为：． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 15. 如图，是坐标原点，直线与反比例函数的图象分别交于点，且． （1）______； （2）过点作的垂线交反比例函数的图象于点，若，则点的坐标为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）如图，过A作轴交于D，过B作轴交于D，证得得出，然后由表示出，，进而即可得解； （2）设直线交y轴于点F，过点A作轴交y轴于点G，先求A点坐标和F点坐标，再求出反比例解析式为和直线的解析式，组成方程组解出其值，进而即可得解． 【详解】（1）如图，过A作轴交于D，过B作轴交于B， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案：4； (2)设直线交y轴于点F，过点A作轴交y轴于点G， ∵， ∴， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， ∴， ∴反比例解析式为：， ∵过点A作垂线交反比例函数的图象于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ 解方程组得和（舍去）， ∴C点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 解一元二次方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）如图，即为所求作； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换和轴对称变换，熟知旋转和轴对称的性质和网格特点是解答的关键． （1）根据旋转性质，得到对应的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质得到对应点的性质，然后顺次连接可得，然后根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 18. 小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 【答案】促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒 B糕点的售价为10元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、y元， 根据题意，得， 解得， 答：促销前每盒A糕点的售价为15元，每盒B糕点的售价为10元． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； （3）若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意分别求得的坐标即可； （2）将分别代入解析式，得出值，结合函数图象，即可求解； （3）根据题意得出当时，，当时，，当时，，分，，，三种情况建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴当抛物线与线段有交点时，则； 【小问3详解】 解：若，则抛物线解析式为， 顶点为，抛物线图象关于对称， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵时，的最大值与最小值的差为， 当时，则， 解得：或（舍去）， 当时，y的最大值为，最小值为，则（舍去） 当时，y的最小值为， 则，即， 解得：（舍去）或（舍去） 综上，t的值为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 20. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）过作于，解即可； （）过作地面于，交于，过作地面，交于，可得四边形和四边形均为矩形，即得，米，，，进而由得，设米，则米，可得米，由得米，即得米，再根据列出方程解答即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过作于，如图所示： 米， 答：点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过作地面于，交于，过作地面，交于，则四边形和四边形均为矩形， ∴， ， ， ∴， 设米，则米， 米， ， 米， 米， ∵， ∴， 解得， 米， 答：无人机在点处时到地面的距离为米． 21. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由，即可求解； （2）由，可得，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ， ； ， ． 是的半径， 是切线； 【小问2详解】 解：， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 六、（本题满分12分） 22. 2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； （3）请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 【答案】（1），， （2） 补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图如图所示： （3） 解：∵从众数上看，两个班抽取的学生成绩中八（一）班得10分的有4人，八（二）班得9分的有4人， ∴八（一）班学生成绩的众数比八（二）班大；这说明八（一）班的成绩比八（二）班好， ∵八（一）班抽取的学生成绩的方差为2.05，八（二）班抽取的学生成绩的方差为1.45， ∴从方差上看，八（一）班成绩波动较大，这说明八（一）班的成绩没有八（二）班稳定． 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图与扇形统计图中获取信息，补全条形图，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解题的关键． （1）根据八（二）班得8分的人数和所占百分比可得值，用1减去其它分数的人数所占百分比即可得出值，根据中位数的定义找到从小到大排列第5、6位的数据的平均数即可得值； （2）先求出八（一）班得10分的人数，补全条形统计图即可； （3）根据众数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：∵两个班得8分的人数相同， ∴八（二）班得8分的人数为2人， ∴抽取的总人数为：（人），即， ， ∴， 把八（二）班成绩从小到大排列，第5、6位的数据为：9分、9分， ∴八（二）班成绩的中位数为：，即． 故答案为：，， 【小问2详解】 ∵八（一）班抽取的学生成绩中得6分的有1人，7分的有2人，8分的有2人，9分的有1人， ∴得10分的有（人）， 图略； 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 23. 如图，在中，，点在边上，连接，为上一点，连接并延长交于点，已知． （1）求证：； （2）连接，若． （）如图，当为的中点时，求的值； （）请就图的情形求证：． 【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）（i）过点作交延长线于点，则，，得到，，设，则，，则，由（1）可得：，，再由勾股定理逆定理求解即可； （ii）在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点，先证明，由得到，导角证明，由相似得到，设，则，则，再由等边对等角结合三角形的外角即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 （）解：∵点为的中点， ∴， 过点作交延长线于点， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （ii）证明：在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 24. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值； （2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，的最大值为． 【小问2详解】 解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列4个数中最小的是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 2. 根据统计部门公布的数据，2025年1-2月份，安徽全省共实现地方财政收入883.5亿元，较上年同期增加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健．其中883.5亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为其对角线，于点．延长至点，使，线段与的延长线交于点．若，，．求的长为（ ） A. B. C. D. 6. 编号为1、2、3、4的4个小球，不放回的抽取两次，记表示这两个球号码的平均数，记表示抽取第一个球的号码，则与差的绝对值超过的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过点，若点也在该直线上，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 10. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为_______． 12. 要使有意义，则x的取值范围是______． 13. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 15. 如图，是坐标原点，直线与反比例函数的图象分别交于点，且． （1）______； （2）过点作的垂线交反比例函数的图象于点，若，则点的坐标为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 解一元二次方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 18. 小明两次到某糕点店购买A糕点和B 糕点，第一次购买A糕点4盒，B糕点6盒，总共花费120元；第二次购买时，糕点店正在进行促销活动（所有糕点按原价的八折销售），小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多1盒，总共花费116元．求促销前每盒A糕点和B糕点的售价． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； （3）若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 20. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 21. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 22. 2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； （3）请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 七、（本题满分12分） 23. 如图，在中，，点在边上，连接，为上一点，连接并延长交于点，已知． （1）求证：； （2）连接，若． （）如图，当为的中点时，求的值； （）请就图的情形求证：． 八、（本题满分14分） 24. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $