精品解析：陕西省宝鸡市高新中学2024-2025学年下学期质量检测八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期形成性检测（一） 八年级数学试卷 总分：120分 时间：100分钟 GXZX 2025．03 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、不等式两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，故，选项正确． 、不等式两边同时除以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、当时，，当时，当时，无法判断和的大小，选项错误． 故选． 2. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 3. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和及勾股定理可进行求解． 【详解】解：A、∵，，∴，能判定是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意； C、由可设，则有，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，所以，解得，则，所以不能判定是直角三角形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 5. 在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于”成立时，我们利用反证法，先假设（ ），则可推出三个内角之和大于，这与三角形内角和定理相矛盾． A. 一个三角形中没有一个内角不大于 B. 一个三角形中至多有两个内角不大于 C. 一个三角形中至多有三个内角不大于 D. 一个三角形中至少有两个内角不大于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的思路是先提出与命题的结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾．对于“一个三角形中至少有一个内角不大于”，其反面就是假设不存在这样的内角，即所有内角都大于，再据此分析选项．本题主要考查反证法的应用，熟练掌握“反证法需先提出与命题结论相反的假设，明确命题结论的否定形式”是解题的关键． 【详解】解：“一个三角形中至少有一个内角不大于”的否定是“一个三角形中没有一个内角不大于”，也就是三个内角都大于． 选项B“一个三角形中至多有两个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项C“一个三角形中至多有三个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项D“一个三角形中至少有两个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项A“一个三角形中没有一个内角不大于”，是原命题结论的否定，符合反证法的假设． 故选：A ． 6. 2024年4月22日是第55个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对（ ）题． A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式关系． 设皓皓至少答对了题，根据＂皓皓本次竞赛的得分不低于80分＂列出不等式，即可求解． 【详解】解：设皓皓至少答对了题， 根据题意得：，解得：， ∴皓皓至少答对22答题． 故答案为：B． 7. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质进一步判断． 【详解】解：， ， 在和中， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故④正确； 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 10. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 11. 若是关于x的一元一次不等式，则m=__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|=1，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴m+1≠0，|m|=1． 解得：m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 12. 如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 _______ 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 13. 若关于的不等式只有3个非负整数解，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解集，根据不等式只有3个非负整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个非负整数解，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围．正确的求出不等式的解集，是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1） （2） 【答案】（1）， 数轴为： （2）， 数轴为： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法以及将解集表示在数轴上，正确求解一元一次不等式是解决本题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项后求解解集并表示在数轴上即可； （2）先去分母，找到2和3的最小公倍数，再去括号并移项，合并同类项后求解解集并表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：由， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解得 【小问2详解】 解：由， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解得 15. 已知关于的不等式（是常数）的解集为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式解集的情况求参数，先解一元一次不等式，求出不等式的解集，进而已知解集得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∵不等式的解集为， ∴， ∴． 16. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】略 17. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 【答案】 ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CBE=∠BAD． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果. 【详解】略 18. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． （2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】（1）， （2）不等式的解集是．的面积为 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 20. 如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换． （1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形； （2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， 是等边三角形． 是等腰三角形， ， 在中，， ， ， 的周长为； 21. 如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】略 22. 深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) （1）求种配件进价的值． （2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）的值为 （2）当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； 【小问2详解】 设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） ， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）DE的长为4.75 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 24. （1）初步感知： 如图1，在四边形中，，，平分，若，则的长是________． （2）渐悟明理： 如图2，在四边形中，，，平分，试猜想，，三条线段之间的关系，并说明理由． （3）深入探究： 如图3，有一块四边形空地，，D在的角平分线上，，，现为了美观需在这个四边形空地上铺满草坪，每平米的费用为500元，求共需花费多少元？ 【答案】（1） （2），理由如下： 过点D作交的延长线于点E， 过点D作交于点F，如图， ∵在四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∵，即， ，即， ∴， ∵平分，，， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵，平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 即， 可得， 同理可得，在，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）612500元 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和性质，角平分线的性质，解含有角的直角三角形，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质．解决本题的关键是通过添加适当的辅助线，得到三角形全等，由全等三角形的性质可得边的关系． （1）根据四边形内角和性质可求解的性质，再由角平分线的性质可求解与的度数，即可得与是含有角的直角三角形，可求解与的长度，再结合勾股定理即可求解； （2）构造辅助线，通过角边角的判定方法证明与全等，即可得，再由含有角的直角三角形，得到与的关系，与的关系，再根据边之间的关系即可得； （3）构造辅助线，由（2）中结论可得与全等，再根据与为等腰直角三角形，以及全等三角形的性质可求解的长度，再由勾股定理即可求解与的边长，计算出四边形的面积即可求解． 【详解】解：（1）在四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）点D作交的延长线于点H， 过点D作交于点G，如图， 由（2）中结论可得，≌， 即，，， 设， 则，， ∵，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴与为等腰直角三角形， 且，， 即，， ∵， ∴，解得， ∴，， 在中，， ∴， 则平方米， ∵每平米的费用为500元， ∴共花费元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期形成性检测（一） 八年级数学试卷 总分：120分 时间：100分钟 GXZX 2025．03 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 3. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 5. 在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于”成立时，我们利用反证法，先假设（ ），则可推出三个内角之和大于，这与三角形内角和定理相矛盾． A. 一个三角形中没有一个内角不大于 B. 一个三角形中至多有两个内角不大于 C. 一个三角形中至多有三个内角不大于 D. 一个三角形中至少有两个内角不大于 6. 2024年4月22日是第55个世界地球日，为提倡节能减排、保护环境，光明中学举办了环保知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对（ ）题． A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 7. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 10. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 11. 若是关于x的一元一次不等式，则m=__________． 12. 如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 _______ 13. 若关于的不等式只有3个非负整数解，则的取值范围为___________ 三、解答题：本题共11小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1） （2） 15. 已知关于的不等式（是常数）的解集为，求的值． 16. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 17. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 18. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 19. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． （2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 20. 如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长． 21. 如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 22. 深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) （1）求种配件进价的值． （2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 24. （1）初步感知： 如图1，在四边形中，，，平分，若，则的长是________． （2）渐悟明理： 如图2，在四边形中，，，平分，试猜想，，三条线段之间的关系，并说明理由． （3）深入探究： 如图3，有一块四边形空地，，D在的角平分线上，，，现为了美观需在这个四边形空地上铺满草坪，每平米的费用为500元，求共需花费多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $