精品解析：河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年九年级 下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 数1，0，，-1中最小的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 2. 如图，把一条弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是（ ） A. 两点之间，直线最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条线段 D. 两点确定一条直线 3. 若 与 可以合并成一项，则m﹣n的值是（ ） A. 2 B. 0 C. ﹣1 D. 1 4. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是（ ）． A. 10. B. 12. C. 38. D. 42. 5. 盾构机是用于铁路、公路、地铁和水利等基建工程的隧道工程机械．2008年我国研发制造了第一台复合式土压平衡盾构机——中国中铁1号．如图是我国迄今为止研制的最大直径的盾构机，开挖直径达16.07m，整机长150m，总重量4300t．数据“4300t”转化成千克用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等实数根，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A 132° B. 120° C. 112° D. 110° 8. 如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上，半径为1，直线L为，若沿x轴向右运动，当与L有公共点时，点A移动的最大距离是（ ） A. B. 3 C. D. 9. 若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，且t＝，则不等式﹣≥的解集为( ) A. x≥ B. x≤ C. x≥ D. x≤ 10. 如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 11. 如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 对于正比例函数，则______． 14. 若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为____． 15. 在抗震救灾的捐款活动中，六（2）班同学的捐款人数情况如图所示，其中捐款10元的人数为10人．请根据图象回答下列问题： （1）捐款50元所在扇形的圆心角是__________度； （2）六（2）班共有__________名学生； （3）捐款100元的人数是__________人； （4）捐款5元的人数是__________人； （5）捐款20元的人数是__________人； （6）全班平均每人捐款__________元． 16. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，DE⊥BC于点E，F是CD的中点，连接AF，EF．若∠AFE=90°，则CE的长为_________． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 解不等式组并写出它的整数解． 18. 如图，在直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标． 19. 如图，直线AB经过上点C，直线BO与交于点F和点D，OA与交于点E，与DC交于点G，，． （1）求证：AB是的切线； （2）若FC//OA，，求图中阴影部分面积． 20. 已知，如图，，求证：． 证明：______ __________________ ____________ ______ __________________ ____________ ____________ 即______ 21. 如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． （1）若是中线，，，则与的周长差为______； （2）若是的角平分线，试说明与的数量关系． 22. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到______球可能性大； （2）如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 23. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到． （1）如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值． （2）如图2，E从C到D的运动过程中． ①若，，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离： ②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的顶点、分别在、轴的正半轴上，顶点在轴的负半轴上．已知，，对角线平分，且． （1）求直线的解析式； （2）若动点从点出发，以每秒个单位长的速度沿着线段向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长的速度沿着线段向终点运动，过点作，垂足为点，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设线段的长度为，点运动时间为，求与的函数关系式；（请直接写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，将沿直线折叠后，对应线段为，当为何值时，，并通过计算说明，此时以为半径的与直线的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年九年级 下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 数1，0，，-1中最小的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数>0>负数，且负数中绝对值大的反而小，即可判断出最小的数． 【详解】∵． ∴最小． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的大小的比较．掌握两个负数比较大小时，绝对值大的反而小是解答本题的关键． 2. 如图，把一条弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是（ ） A. 两点之间，直线最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条线段 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合把弯曲的河道改直，能够缩短航程，则这样做根据的道理是两点之间线段最短，即可作答． 【详解】∵把弯曲的河道改直，能够缩短航程， ∴这样做根据的道理是两点之间线段最短， 故选：B． 3. 若 与 可以合并成一项，则m﹣n的值是（ ） A. 2 B. 0 C. ﹣1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用两式可以合并进而得出m＝n＋2，即可得出答案． 【详解】解：∵与可以合并成一项， ∴m＝n＋2， 则m﹣n＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同类项的概念，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式，正确理解同类项是解题关键． 4. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是（ ）． A. 10. B. 12. C. 38. D. 42. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：当x=3时，得到3×4-2=12-2=10， 当x=10时，得到10×4-2=40-2=38， 则输出的数为38． 故选C 5. 盾构机是用于铁路、公路、地铁和水利等基建工程的隧道工程机械．2008年我国研发制造了第一台复合式土压平衡盾构机——中国中铁1号．如图是我国迄今为止研制的最大直径的盾构机，开挖直径达16.07m，整机长150m，总重量4300t．数据“4300t”转化成千克用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：4300t=4300000千克=4.3×106千克． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出方程有，再判断即可． 【详解】解：∵是“负一”方程， ， ， ∵方程有两个相等的实数根， ， ∴，， 无法推出， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A. 132° B. 120° C. 112° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得∠ACB=56°，再根据圆周角定理可求得结果． 【详解】解：∵，， 又 ∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56° ∴∠AOB=2∠ACB=112° 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠ACB度数是解题关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，的圆心在x轴上，半径为1，直线L为，若沿x轴向右运动，当与L有公共点时，点A移动的最大距离是（ ） A B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到与相似． 与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切时圆心到C的距离的2倍．结合相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：当直线L在原点左侧与相切时， 由相切可知， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， 因为直线L为， 令，解得，令，解得， ∴点，， 即，， 在中，， ∴， 即， ∴． 所以点A移动的最大距离是． 故选：A． 9. 若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，且t＝，则不等式﹣≥的解集为( ) A. x≥ B. x≤ C. x≥ D. x≤ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方根求出a的值，再求出m，求出t，再把t的值代入不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根， ∴3a﹣22+2a﹣3＝0， 解得：a＝5， 3a﹣22＝﹣7， 所以m＝49， t＝＝7， ∵﹣≥， ∴﹣≥， 解得：x≤. 故选B． 【点睛】本题考查算术平方根、解一元一次不等式和平方根，能求出t的值是解题关键． 10. 如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝50°，再由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数． 【详解】解：∵折叠， ∴AD＝DF， ∵D是AB边上的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝DF， ∵∠B＝50°， ∴∠DFB＝∠B＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠DFB＝80°． 故选：B． 【点睛】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 11. 如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴＝180°， ∴＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题． 12. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；，重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；结合矩形的性质可知，进而可证明，即可判断④． 【详解】解：矩形中， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， 在和中， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， 、、三点一定在同一直线上，故④正确． 综上所述：正确的结论有②③④，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、折叠性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 对于正比例函数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的自变量次数为1，且一次项系数不等于0，是解题的关键． 根据正比例函数的定义可得且即可解答． 【详解】∵函数是正比例函数， 且， ， 故答案为：1． 14. 若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用有序实数对表示位置即可，第一个数是行数，第二个数是列数，据此写出即可 【详解】若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为； 故答案： 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键． 15. 在抗震救灾的捐款活动中，六（2）班同学的捐款人数情况如图所示，其中捐款10元的人数为10人．请根据图象回答下列问题： （1）捐款50元所在扇形的圆心角是__________度； （2）六（2）班共有__________名学生； （3）捐款100元的人数是__________人； （4）捐款5元的人数是__________人； （5）捐款20元的人数是__________人； （6）全班平均每人捐款__________元． 【答案】（1）54；（2）40；（3）5；（4）4；（5）15；（6）30.5 【解析】 【分析】（1）用360°乘以捐款50元对应的百分比即可； （2）用捐款10元的人数除以圆心角所占比例即可； （3）用总人数乘以捐款100元人数所占比例即可； （4）用总人数乘以捐款5元人数所占比例即可； （5）用总人数乘以捐款20元所对应的圆心角占比即可； （6）先求出捐款50元的人数，结合前面所求用得到的人数乘以相应的钱数，相加后再除以捐款的人数即可． 【详解】解：（1）捐款50元所在扇形的圆心角是， 故答案为：54； （2）六（2）班共有学生（名）， 故答案为：40； （3）捐款100元的人数是（人）， 故答案为：5； （4）捐款5元的人数是 （人）； 故答案为：4； （5）捐款20元的人数是（人）， 故答案为：15； （6）捐50元的人数为：（人）； 捐款总额为：（元）． 全班平均每人捐款为：（元）， 故答案为：30.5． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键在于能够找准单位“1”，根据捐款10元的人数有10人确定全部捐款的总人数，然后再列式计算即可． 16. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，DE⊥BC于点E，F是CD的中点，连接AF，EF．若∠AFE=90°，则CE的长为_________． 【答案】； 【解析】 【分析】延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD//BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF=EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF＝EF＝CD=1，得出EG=2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：延长EF交AD的延长线于G， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=CD=AB=2，AD//BC， ∴∠GDF=∠C， ∵F是CD的中点， ∴DF=CF ， 在△DFG和△CFE中， ∠GDF=∠C，DF=CF ∠DFG=∠CFE ∴△DFG≌△CFE（ASA） ∴DG=CE，GF=EF ∵∠AFE=90° ∴AF⊥EF ∴AE=AG， 设CE=DG=x，则AE=AG＝2+x， ∵AG//BC，DE⊥BC，F是CD的中点， ∴DE⊥AG，GF=EF＝CD=1， ∴EG=2EF=2 在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2-AD2＝EG2-DG2 ∴（2+x）2-22＝22-x2解得：x=或x=（舍去）， ∴CE＝． 故填． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾投定理等知识；本题综合性强、综合应用所学知识成为解答本题的关键． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 18. 如图，在直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标． 【答案】（1） （2）图见解析，点的坐标为： 【解析】 【分析】此题考查了画平移图形及求三角形面积，正确理解平移性质是解题的关键． （1）根据三角形面积公式求三角形面积即可； （2）根据平移的性质确定对应点，顺次连线即可得到平移的图形及点坐标． 【小问1详解】 解：的面积是：； 【小问2详解】 作图如下： ∴点的坐标为：． 19. 如图，直线AB经过上的点C，直线BO与交于点F和点D，OA与交于点E，与DC交于点G，，． （1）求证：AB是的切线； （2）若FC//OA，，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OC，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OC⊥AB，根据OC是半径即可证明AB是的切线； （2）根据平行线的性质可得∠AOC=∠OCF，根据等腰三角形的性质可得∠OCF=∠OFC，∠AOC=∠COF，可得△COF是等边三角形，∠COF=AOC=∠DOE=60°，根据等腰三角形的性质可得OE⊥CD，根据垂径定理可得DG=CD=6，根据含30°角的直角三角形的性质可得OG=OD，利用勾股定理列方程可求出OD的长，利用扇形及三角形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 如图，连接OC， ∵，， ∴OC⊥AB，∠AOC=∠COF， ∵直线AB经过上的点C，OC是半径， ∴AB是的切线 【小问2详解】 ∵CF//OA， ∴∠AOC=∠OCF， ∵OC=OF， ∴∠OCF=∠OFC， ∵∠AOC=∠COF， ∴∠COF=∠OFC=∠OCF， ∴△COF是等边三角形， ∴∠COF=AOC=∠DOE=60°， ∵OD=OC， ∴OE⊥CD，DG=CD=6，∠ODG=30°， ∴OG=OD， 在Rt△ODG中，，即， 解得：（负值舍去），， ∴S阴=S扇形ODE-S△ODG==． 【点睛】本题考查切线的判定、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及扇形的面积公式，过直径的外端点且垂直于直径的直线是圆的切线；垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧；30°角所对的直角边等于斜边的一半；胜利在望相关性质及判定定理是解题关键． 20. 已知，如图，，求证：． 证明：______ __________________ ____________ ______ __________________ ____________ ____________ 即______ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】分别根据平行线的性质和判定，按照题中所给步骤填空得出即可． 【详解】证明：已知 （同旁内角互补，两直线平行 （两直线平行，内错角相等 （已知 （内错角相等，两直线平行 （两直线平行，内错角相等 ，即等式的性质． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理． 21. 如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． （1）若是中线，，，则与的周长差为______； （2）若是的角平分线，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，三角形内角和定理、角平分线的定义； （）利用是中线，得，再根据三角形周长公式作差即可； （）根据角平分线定义得到，，再根据三角形内角和定理求出，，然后可得与的数量关系． 【小问1详解】 解：∵是中线， ∴， ∴与的周长差为：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性大； （2）如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 【答案】（1）黑 （2）放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大； （2）设放x个红球，则放个黑球，根据摸到红球和摸到黑球的概率相同，即都为列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为，摸到红球的概率为， ∵， ∴摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； 【小问2详解】 解：放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由如下： 设放x个红球，则放个黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同， ∴， 解得， ∴， ∴放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 23. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到． （1）如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值． （2）如图2，E从C到D的运动过程中． ①若，，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离： ②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长． 【答案】（1） （2）①3，② 【解析】 【分析】（1）①设DF=m，解直角三角形求出AB，AD（用m表示即可）； （2）①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．证明△BMH≌△BMF（AAS），推出BH=BF=8，可得结论． ②如图3-2中，当点E与D重合时，求出MG的长，可得结论． 【小问1详解】 如图，设DF=m． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD，AD=BC， 由翻折的性质可知，∠BEF=∠BEC=75°，∠C=∠BFE=90°，EF=EC， ∴∠FED=180°-75°-75°=30°， ∴EF=EC=2DF=2m，DE=DF=m， ∴∠AEFD=60°，∠AFB=30°，AB=CD=2m+m， ∵AF=AB=2m+3m， ∴BC=AD=2m+4m， ∴． 【小问2详解】 ①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠BAD=∠ABD=∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=BC=8， ∵MH⊥AB，MK⊥AD， ∴∠H=∠HAK=∠AKM=90°， ∴四边形AKMH是矩形， ∴AH=MK， ∵BM平分∠ABF， ∴∠MBH=∠MBF， ∵∠H=∠AFM=90°，BM=BM， ∴△BMH≌△BMF（AAS）， ∴BH=BF， ∵BF=BC=8， ∴BH=BC=8， ∴MK=AH=BH-AB=8-5=3， ∴M到AD的距离为3． ②如图，当点E与D重合时， ∵△BMH≌△BMF， ∴MH=MF， 设MH=MF=m， ∵四边形AHGD是矩形， ∴AH=DG=3，GH=AD=8，∠G=90°， ∵CD=DF=5，GM=GH-HM=8-m， 在Rt△DGM中，则有（8-m）2+32=（5+m）2， 解得m=， ∴GM=8-=， 观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG， ∴点M的运动的路径的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，判断出BH=BF=BC是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的顶点、分别在、轴的正半轴上，顶点在轴的负半轴上．已知，，对角线平分，且． （1）求直线的解析式； （2）若动点从点出发，以每秒个单位长的速度沿着线段向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长的速度沿着线段向终点运动，过点作，垂足为点，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设线段的长度为，点运动时间为，求与的函数关系式；（请直接写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，将沿直线折叠后，对应线段为，当为何值时，，并通过计算说明，此时以为半径的与直线的位置关系． 【答案】（1） （2） （3）时，，此时和直线相切；时，，此时和直线相离 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质和梯形性质求出，设，根据勾股定理得出，求出，得出、的坐标，设直线的解析式是，代入求出即可； （2）求出，，，根据锐角三角函数求出，求出的值，当与重合时，根据，求出，①，根据代入求出；②，根据代入求出； （3）当时，根据平行线和锐角三角函数，代入求出，求出，根据直线和圆的位置关系求出即可；当时，点在轴的下方，与轴交于点，同理可求得，根据直线和圆的位置关系求出即可． 【小问1详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 在中，设，则， 在中，， ，（舍去）， 点、的坐标分别是，， 设直线的解析式是， ， 解得：，， 直线的解析式是． 【小问2详解】 由题意得：，，， ， 在中，， ， 当与重合时，， 解得：， ①，； ②，； 综合上述：求得的解析式是． 【小问3详解】 如图1，当时，延长与轴交于点， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ，此时，， 此时等于的半径，则和直线相切； 当时，点在轴的下方，与轴交于点， 同理可求得：， ， ， 此时， 所以与直线相离． 【点睛】本题考查了对直线与圆的位置关系，勾股定理，平行线的性质，直角梯形，翻折变换，锐角三角函数等知识点的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $