湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷

湖北省“腾·云”联盟2025—2026学年度高三上学期开学考试 数学试卷 考试时间：2025年8月13日 15:00—17:00 试卷满分：150分 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号、条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接签名答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数z满足 ，则复数z在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线l， 是三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若 ，则 B. 若 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进货时，得到以下数据： 单价x/元 40 50 60 70 80 90 销量y/件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为 ，下列说法错误的是 A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 (65, 35) C. 样本点 (60, 38) 的残差为 -1 D. 当单价定为 100 元时，销量估计为 21 件 5. 已知直线 ，圆，直线 与圆 交于 两点，则弦长 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 的图像. 则下列说法正确的是（ ） A. 函数 图像关于 对称 B. 函数 在 上单调递增 C. 函数 图像在 内有 3 个极值点 D. 函数 图像关于 中心对称 7. 设的外心为，若 ，且 ，则 A. B. C. D. 8. 已知定义在 上的函数 ，若满足不等式 的整数解的个数恰好为 2 个，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知 ，，且 ，则 A. 最小值为 1 B. 最小值为 2 C. D. 最小值为 4 10. 如图所示，在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，=，则下列结论正确的有 A. BC ⊥ 平面ACD B. 存在，使得PQ⊥平面ACD C. 存在，使得PQ∥平面BCD D. 若存在，使得PQ⊥平面ABD，则 11. 四边形ABCD内接于半径为R的圆，如图所示，其中AB=，BC = 3，CD = 2，DA = 1. 则下列结论正确的有 A. B. C. 四边形ABCD的面积为 D. 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为______. 13. 已知等差数列, 的前n项和分别为, ，且，则______. 14. 设, 为双曲线（b>）的左右焦点，O为坐标原点，过双曲线上任一点P作两条渐近线的垂线，记垂足分别为A，B，有，且当时，的面积为12. 过点的直线l与双曲线C的右支交于M, N两点，设G, H分别为, 内切圆的圆心，则的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅晚餐. 该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）. （1）小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量X表示所选美食中米面类的数量，求X的分布列和期望. 16. 记为数列的前n项和，已知3. (1) 求； (2) 设 ，求数列 的前n项和 . 17. 在平面四边形 中，，，. 将 沿 边翻折至 ，得到三棱锥 . (1) 当二面角 的大小为60°时，求三棱锥 的体积； (2) 当 时，求二面角 的余弦值. 18. 已知函数 . (1) 若 ，求 在区间 上的最大值和最小值； (2) 若 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 设n∈N*，n2证明： 19. 已知椭圆 （），左右焦点分别为 ，左右顶点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的标准方程； (2) 若直线 与椭圆 交于 两点. (i)设直线 和 的斜率分别为 ，用 表示 ； (ii) 设 点关于原点的对称点为 点，直线 与直线 交于 点，直线 与直线 交于 点（ 为坐标原点），证明：点 在一条定直线上. 数学试卷 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高三数学试卷参考答案 阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本 参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考 评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 6 8 答案 B D D B A 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的四个 选项中，有多个选项是符合题目要求的。 注意：全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.8 13.8 14.49) 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.【详解】(1)汤有一种选择1：米面类美食三种里选择一种C:其他菜类3种里选择2种 C写：共计1XCC写=9（种）.3 (1)X的可能取值有0、1、2、3：4 P(X-0)--:x-1)-CixCi= C435 C 35 PX-2)-CiCX=3)-CixCl-4 35 5 11 分布列为： X 0 1 2 3 1 P 12 8 35 35 35 35 所以E(X)= 12 13 第1页共4页 16(1)令n=1时，3S1=4a-3,即得a=3. 3S。=4a-3n①，3Sn1=4a1-301-1)--② ①-②得，0=40n-1+3.… .3 an+1=4(an-1+10.5 又4=3,4+1=4，a+1=4-1an=4,an=4"-17 @烟地-司 40 12 所以Tn=b+b+…+b 高 11 .15 17.(①)AC=DC,∠CAD=∠CDA=30°，则∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°..1 B14C,5c=22=22 过点P作AC延长线的垂线，交于H点，PH=√53 因为二面角P-AC-B等于60，所以点P到平面ABC的距离为h=5,5_3 22 5 三棱锥P-ABC体积为V=.2.3=1 3 2 7 (2)油于AB=2,AP=2N3,BP=4,故AB2+AP2=BP3,则AB⊥PA 又AB⊥AC,AOAC=A,故AB⊥平面APC8 以A为原点，建立空间直角坐标系如图 (在APC平面内作过A点的z轴，以AB为x轴，AC为y轴) A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,3,V5) .9 对于平面4BP,AB=(2,0,0),AP=(0,3√5)，设其法向量为=（化，八，） 区·A5=0代入计算赋值即得法向量=(01，-5) h·AP=0 对于平面BCP,CB=(2,-2,0),CP=(0,1V3),设其法向量为n,=(xy,) 匹CB=0代入计算赋值即得法向量元，=(5，-√5，) CP=0 13 易知该二面角为锐角，cos∠A-PB-C- ..15 7 第2页共4页 18解：(1)f()=2-mx+1-2m=+230-m型 当m=时，令f(x）=0,因为函数fw)定义域为x∈[1,4所以xe:2 当xe[L,e时，f(x)>0,fx)单调递增， 当xe[e,4时，f(x)<0,fx)单调递减， …3 所以，Xe为)的一个极大值点，也为最大值点，所以f)ax=f@)=号 而f)=-)<f④=4n2+号-9 所以f6)mm=f0)）=1-5 (2)若m≤0时，因为)=；-2m>0不满足淝目要求， 6 若m>0时，求导可知，当xE(0,)时，f()>0,f0)单调递增， 当x∈（后+o)时，f()<0,)单调递减， 所以，X=二为f的一个极大值点，也为最大值点，…8 所以f6max=f(白)=-2nm+六-s0即可， 令gm)=-2mm+六-因为gm)单调递减，且g10, f所以m21.11 (③)由(2)知，当m1时，f)≤0恒成立，即x≤+-3等号成立当且仅当X1时取得。 4 f以lh6《+1）≤tXl 令x=最代入化简即得h(1+)<十卡k=23,4n14 又国为k≥2时位<六一衣m 111 15 即得n2<-)+n好<行3)+，n典<+日 累加即得n些<-白)+++…+ 17 19.(1)因为椭圆的长轴长2a=4,所以a-21 另一方面，精圆过点(5，》，代入椭圆方程鸳+发-1得+衣=1，所以b问1 第3页共4页 椭圆E的方程为+y2=1…… (2)设点M,N坐标为M(x1,y1),N(x2,y2) x=mx +y 联立方程 +y严=1即得m2+4y2+2my+n2-4=0 m2+4y2=4 所以有y+y2= m2tf7 又因为+后只 =-2+2=四t"2+四2m2=2m+(n-2）1g=细 2 yiy2 拉+2 10 (3)方法一 因为0为AA:中点，所以忌=+号=品 ,14m .12 所以ko一光 所以直线0T方程为：y=2x=名x13 2m (x=my+n 联立 y=x即得x=2 2m 所以解得X一217 方法二：设直线MN方程为：X=my+n,点MN坐标分别为（飞1，y1),(&2,y2) 则S(-X1,-y),设T(xoyo) 号+y2=1即得：(m2+4y2+2mw+n2-4=0 x=my +n 联立方程 所以Ww=翠= m2+4 又因为A,S,T三点共线：0=1 0+21-2 AN,T三点共线：品是 两边取倒数代入韦达定理： -m1+n-2+2+n-2=2m+0a-2)+业=m yo y y2 yiyz n+2 所以直线OT方程为：y=≌x=x 2m (x =my +n 联立y-兴x即得x=学x+n 2m 所以解得x=2: 第4页共4页