精品解析：重庆市徐悲鸿中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级下期第一次定时作业数学试题 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2. 在圆的面积计算公式，其中为圆的半径，则变量是( ) A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】在圆的面积计算公式中，π是圆周率，是常数，变量为S，R． 【详解】在圆的面积计算公式中，π是圆周率，是常数，变量为S，R． 故选D. 【点睛】本题主要考查常量与变量，解题关键是熟练掌握圆的面积S随半径的变化而变化. 3. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的概念可知，在变化过程两个变量x、y，如果给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数；接下来对题目中给出的四个选项的图象进行判断，即可得到y不是x的函数的图象． 【详解】解：选项A，根据图象，当时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 【点睛】本题考查的是函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键，根据函数的定义可知x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，根据上述特点即可进行判断出正确选项． 4. 下列各组3个整数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，9 C. 13，14，15 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，首先勾股数都是正整数，且两个较小的正整数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴6，8，9不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴13，14，15不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，15，17是勾股数，符合题意； 故选；D． 5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等； 平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分； ∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键． 6. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可， （1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC=90°或AC=BD． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 7. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论： ①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC； 其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题； ②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题； ③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形； ④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题． 【详解】解：①如图，EC，BP交于点G； ∵点P是点B关于直线EC的对称点， ∴EC垂直平分BP， ∴EP=EB， ∴∠EBP=∠EPB， ∵点E为AB中点， ∴AE=EB， ∴AE=EP， ∴∠PAB=∠PBA， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°， ∴∠PAB+∠PBA=90°， ∴AP⊥BP， ∴AF∥EC； ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， 故①正确； ②∵∠APB=90°， ∴∠APQ+∠BPC=90°， 由折叠得：BC=PC， ∴∠BPC=∠PBC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°， ∴∠ABP=∠APQ， 故②正确； ③∵AF∥EC， ∴∠FPC=∠PCE=∠BCE， ∵∠PFC是钝角， 当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP， 如右图，△PCF不一定是等腰三角形， 故③不正确； ④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°， ∴Rt△EPC≌△FDA（HL）， ∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP， 当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA， ∴△APB≌△EPC， 故④不正确； 其中正确结论有①②，2个， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，共32分． 11. 若，是正比例函数的图象上的两点，且，则，的大小关系是：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的增减性是解题关键．判断出与的增大而减小，由此即可得． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴与的增大而减小， 又∵，是正比例函数的图象上的两点，且， ∴， 故答案为：． 12. 如果函数是正比例函数，那么______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：． 故答案为：0． 13. 如图，正方形的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且，则四边形的面积为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14. 如图，在四边形中，，连接EF，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，连接，勾股定理求出的长，根据中位线定理求出的长即可． 【详解】解：连接； ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． 【答案】40° 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和与外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等边对等角以及三角形的内角和与外角的性质是解题的关键． 如图：连接，根据斜边上的中线的性质得到，根据三角形的外角得到，再根据等边对等角进行求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 17. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 18. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可， 【详解】解：的千位数字最小为，百位最小为， 由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数， 则的十位数字最小为，个位最小为， 则最小的“同差数”为， 故答案为：； 设，则， 根据题意，得，且，，，，，， 则， 则，， 则， ∵与的差为一个两位数且为完全平方数， ∴，且是完全平方数， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵除以余数为， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可得，， ∴， ∴或或， 结合，的取值范围， 当时，即， 解得：， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）或， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）； 综上所述，或，最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，矩形中，点是上的一点，连接，且． （1）尺规作图：过点作的垂线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小育和小才猜测．于是他们进行了如下探究，他们的思路是先利用矩形的性质得到对边平行且相等，，再根据条件进行等量代换证明，最后根据全等三角形的性质证得．请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ，，，， ， ① ， ② ． ． ③ ， ． 又， ④ ， ． 在和中 ， ． ． 【答案】（1） 如图，即为所做； （2），，，，． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可； （2）由矩形的性质结合题意易证，再根据等腰三角形的性质即得出，结合平行线的性质即可求证．由垂线的定义得出，结合为公共边，即可证，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，，，， ， ， ． ． ， ． 又， ． 在和中 ， ． ． 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线的定义，平行线的性质等知识．掌握基本作图方法，特殊四边形的性质和三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 21. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ AB∥EC， ∵点是CD的中点， ∴， ∵， ∴AB=EC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）可证得AB∥EC，AB=EC，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断； （2）利用勾股定理可求得CD的长，继而求得AB的长，即可求出四边形ABCE的面积． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴， ∵， ∴AB=2， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 22. 四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． （1）求支渠的长度．（结果保留根号） （2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 23. 如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为8． （1）求正比例函数的解析式． （2）在轴上是否存在一点，使的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的解析式求解以及三角形面积与坐标的综合应用，解题的关键是利用三角形面积求出点坐标，再结合函数性质和面积公式解决问题． （1）先利用三角形面积公式求出得到点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）设，利用三角形面积公式得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为4，且的面积为8， 解得， ， 把代入得， 解得， ∴正比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在． 设， ∵的面积为10， ∴或， ∴点坐标为或． 24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 （1）若，则_____， _____， _____； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】（1），， （2）①用阴影标出一个面积为的图形如下所示： 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ② 【解析】 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ①， ， ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 25. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． （1）_____，______．（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，当和在运动的过程中，是否存在某时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）或2或． 【解析】 【分析】（1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； ∵，， ∴∠BCD=90°， ∵， ∴四边形为矩形         ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形时，， ∴， 解得， 【小问3详解】 由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∴，解得， ②当时，为等腰直角三角形，则， ∴，解得， ③当时，为等腰直角三角形，则， ∴，解得， 综上，当或2或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得都得等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据折叠的性质性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，可求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中， ， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握勾股定理，添加合适的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期第一次定时作业数学试题 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在圆的面积计算公式，其中为圆的半径，则变量是( ) A. B. C. ， D. ， 3. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组3个整数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，9 C. 13，14，15 D. 8，15，17 5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直平分 6. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论： ①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC； 其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共8小题，共32分． 11. 若，是正比例函数的图象上的两点，且，则，的大小关系是：______． 12. 如果函数是正比例函数，那么______． 13. 如图，正方形的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且，则四边形的面积为__________． 14. 如图，在四边形中，，连接EF，，则的长为_______． 15. 如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则___________． 16. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 17. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 18. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，矩形中，点是上的一点，连接，且． （1）尺规作图：过点作的垂线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小育和小才猜测．于是他们进行了如下探究，他们的思路是先利用矩形的性质得到对边平行且相等，，再根据条件进行等量代换证明，最后根据全等三角形的性质证得．请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ，，，， ， ① ， ② ． ． ③ ， ． 又， ④ ， ． 在和中 ， ． ． 21. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 22. 四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． （1）求支渠的长度．（结果保留根号） （2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 23. 如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为8． （1）求正比例函数的解析式． （2）在轴上是否存在一点，使的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 （1）若，则_____， _____， _____； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 25. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． （1）_____，______．（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，当和在运动的过程中，是否存在某时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $