精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年莆田第十五中学下学期第一次月考 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】由有意义得: ， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形）对各选项依次计算后即可解答． 【详解】选项A，因为12+22≠32，不能组成直角三角形； 选项B，因22+32≠42，不能组成直角三角形； 选项C，因为32+42=52，能组成直角三角形； 选项D，因为52+62≠72，不能组成直角三角形. 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别．熟记定义，是解题的关键．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，是的三边，则 B. 若，，是的三边，则 C. 若，，是的三边，，则 D. 若，，是的三边，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6 已知，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 9. 下列命题：①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】交换原命题题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据平行线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和平行四边形的判定方法判断四个逆命题的真假． 【详解】解：①“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题； ②“对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”，此逆命题为真命题； ③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题； ④“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”，此逆命题为真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A. 12 B. C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为x，y，且， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， 即两直角边的积等于24， 故选C． 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 计算的结果等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式即可计算． 【详解】 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用乘法公式可简化运算． 12. 若，则的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案：3． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由点的坐标求点到原点的距离”是解本题的关键． 直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 点到原点的距离， 故答案为：． 14. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 15. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【解析】 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 16. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 【答案】45° 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分母有理数的计算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 若a，b，c满足． （1）求a，b，c的值． （2）以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】（1） （2）能构成直角三角形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据实数的非负性解答即可． （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； 本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 , , ． 【小问2详解】 能构成直角三角形． 理由：, ， ∴以a,b,c为边长能构成直角三角形． 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 21. 如图，有一秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？ 【答案】绳索的长度为14.5尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意知：，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 22. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． （1）求云梯顶端C与墙角O的距离的长； （2）现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【答案】（1）云梯顶端与墙角的距离的长为 （2）云梯底端在水平方向上滑动的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：； 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ， ． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 23. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是由等腰三角形性质确定即可得证； （2）设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识． 24. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【解析】 【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）观察前面例子的过程和结果得：； （3）反复运用得 = = ==-1+10=9． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解． 25. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年莆田第十五中学下学期第一次月考 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，是的三边，则 B. 若，，是三边，则 C. 若，，是三边，，则 D. 若，，是的三边，，则 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题：①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ） A 12 B. C. 24 D. 10 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 计算的结果等于__________． 12. 若，则的值为______________． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 14. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 15. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 16. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）； 18. 先化简，再求值：，其中 19. 若a，b，c满足． （1）求a，b，c的值． （2）以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，有一秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？ 22. 每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． （1）求云梯顶端C与墙角O的距离的长； （2）现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 23. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落处，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 24. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 25. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $