精品解析：福建省龙岩市连城县冠豸中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

冠豸中学2024-2025学年下期第一次核心素养能力训练 八年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列式子是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】A、被开方数含有分母的一定不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、 =|a|，故C选项不是最简二次根式； D、，故D选项不是最简二次根式， 故选B. 【点睛】本题考查最简二次根式：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根．直接利用算术平方根的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ，， ， 不是直角三角形，故A符合题意； B. ， ， 是直角三角形，故B不符合题意； C. ， ， ， ， 是直角三角形，故C不符合题意； D. ，，， ， ， 是直角三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 5. 下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可． 【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确； ③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数， 所以逆命题成立的只有一个， 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定. 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 7. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A. 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 【答案】A 【解析】 【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设BD长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m， 在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2， 解得x=1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 8. 已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ） A. 海里 B. 海里 C. 16海里 D. 24海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向夹角，再根据路程速度时间，得到，，最后利用勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意可知，， 离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里， 即，， 由勾股定理得：， 故两船相距海里， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，熟练运用勾股定理进行计算是解题关键，基础知识，比较简单． 9. 如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 10. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. 25 C. D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1， ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2， ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3， ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， 设点表示的数是， ∴， ∴， ∴， 故答案为； 13. 写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题的关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 14. 观察下列各式：，……依此规律，则第4个式子是_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】观察所给的式子可知等号前面的第一个乘数比序号大1，第二个乘数是二次根式，根式中是分数，分子比序号数大1，分母比分子的平方小1，等号右边是一个二次根式，是左边根号外的数与根号内的数的和，由此即可得. 【详解】第1个式子：， 即（1+1）×=； 第2个式子：， 即（2+1）×=； 第3个式子：， 即（3+1）×=； 所以第4个式子为：（4+1）×=， 即， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了数字变化规律，根据已知得出根式内外变化规律是解题关键． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为16，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵大正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______________. 【答案】(2，4)或（3，4） 【解析】 【分析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，考虑到BD<OD,所以有两种情况，OD=PD或OP=OD.再根据勾股定理即可求出点Ｐ到ｙ轴的距离，从而求出点Ｐ的坐标 【详解】解：∵A（7，0），C（0，4）， ∴AB=OC=4 OA=7， ∵D的坐标为（5，0）， ∴OD=5， ∴AD=2， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠A=90°， ∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ， 故有三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD， ①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去） ②当OD=OP时，PC= = =3. 故此时点P的坐标为（3，4）. ③当OP=PD时，P(,4)（舍去）. 故答案为（2，4）或（3，4）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识， 以及分类讨论的数学思想，注意考虑问题要全面. 三、解答题（本题共9小题，共86分）． 17. （1） （2） 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式展开，再根据二次根式性质计算即可； （2）利用乘法分配律展开计算即可； 【详解】原式， ； 原式， ， ； 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，结合平方差公式计算是解题的关键． 18. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将式子提公因式变形之后将x、y代入即可． 【详解】解：， =， 将代入， 原式=， =， =． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式和乘法公式是解题的关键． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处，求重叠部分面积． 【答案】10 【解析】 【分析】矩形翻折后易知AF=FC，利用直角三角形BFC，用勾股定理求出CF长，也就是AF长，根据S△AFC=，即可求解. 【详解】设，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有： ，， . ≌ . . . 在中有 . 即 . 解得． ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质及其应用问题；灵活运用勾股定理建立方程是解本题的关键. 20. 如图，，． 求：四边形ABCD的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，然后勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ， ， 是直角三角形，且， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键． 21. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1）40米；（2）超速了 【解析】 【详解】试题分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC； （2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速． 试题解析：（1）在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米， 且AB为斜边，则BC==40米． 答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米； （2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒， 20米/秒=72千米/时， 因为72＞70， 所以这辆小汽车超速了． 答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可画出三边长分别为的三角形即可； （2）根据题意及勾股定理即可画出边长为、、的直角三角形； （3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形． 【小问1详解】 如图1，三角形为所求； 【小问2详解】 如图2，三角形为所求； 小问3详解】 如图3，正方形为所求． 【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 23. 在中，，，， （1）在上找一点，使（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求出此时的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可； （2）设CE=x，利用勾股定理求出CE的长. 【详解】（1）如图： （2）由（1）知：EB=EA， 设CE=x，则EB=EA=8-x， 在Rt△ACE中，，， ∴， 解得x=， ∴CE=. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理求直角三角形中线段的长. 24. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发秒后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）． 【答案】（1）． （2）秒； （3）秒或秒或秒。 【解析】 【分析】（1）先根据速度和时间分别算出与的长度，再利用勾股定理计算的长． （2）根据等腰三角形两腰相等（ ）列方程求解． （3）分三种情况讨论：、、，结合三角形的边长和运动速度计算运动时间，需要先利用勾股定理求出的长度，再根据不同等腰情况分析的位置和运动路程． 【小问1详解】 解：出发秒后， ， ∵， ． 点速度为每秒， ． ， ∴在中， ． 【小问2详解】 解：设出发秒后为等腰三角形，此时，． ，为等腰三角形， ， ． 解得秒； 点Q在边BC上运动时，出发秒钟，△PQB能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：在中，，， ∴． 当时，则， ， ，， ， ，． 点运动的路程为， 速度为每秒， 运动时间秒． 当时，， ∴点运动的路程为，运动时间秒． 当时，过作于， ，即， ． 在中，， ． ∴点运动的路程为，运动时间秒． 综上，运动时间为秒或秒或秒时，△BCQ成为等腰三角形。 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及动点问题，熟练掌握勾股定理，灵活运用等腰三角形的分类讨论思想，结合动点的运动速度和路程关系进行计算是解题的关键． 25. 已知△ABC是等边三角形． （1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE； （2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）DB2+DC2=DA2，证明见解析；（3）∠CDB=75°. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得； （2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ； （3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数. 【详解】（1）∵△ABC和△BDE均为等边三角形， ∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ， ∴∠ABD=∠EBC， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE； （2）结论： DB2+DC2=DA2， 以BD为边作等边△BDE，连CE， 则BD=DE，∠BDE=60°， 由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE ， 又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°， ∴CD2+DE2=CE2， ∴DB2+DC2=DA2 ； （3） 以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD延长线于点H， 由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE=13， 设DH=x， 在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2， 即， 在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2， ， ∴= ， ∴x=5 ， 即DH=5 ， ∴EH=5=DH，则∠EDH=45°， ∴∠CDB=180°—45°—60°=75°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，准确添加辅助线是解答本题的难点和关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冠豸中学2024-2025学年下期第一次核心素养能力训练 八年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 7. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 8. 已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ） A. 海里 B. 海里 C. 16海里 D. 24海里 9. 如图，有一块纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. 25 C. D. 35 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 12. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为________． 13. 写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 14. 观察下列各式：，……依此规律，则第4个式子是_____． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为________． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______________. 三、解答题（本题共9小题，共86分）． 17. （1） （2） 18. 若，求的值． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处，求重叠部分的面积． 20. 如图，，． 求：四边形ABCD的面积． 21. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 23. 中，，，， （1）在上找一点，使（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求出此时的长． 24. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发秒后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）． 25. 已知△ABC是等边三角形． （1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE； （2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $