19.3《二次函数的性质》同步课件 2025-2026学年北京版数学九年级上册

19.3二次函数的图象与性质 ——y = ax2(a<0)的图象与性质 学习目标 1.会用描点法画二次函数 y＝ax2(a＜0)的图象， 理解抛物线的概念；(重点) 2.掌握形如 y＝ax2(a＜0)的二次函数的图象和性 质，并会应用其解决问题．(重点) 复习引入 首先列表； 然后描点； 最后连线. x 0 1 2 3 4 0 8 4.5 2 0.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 你还记得如何画 的图象吗？ x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 问题2：画出二次函数y=x2的图象. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 探究环 1.列表： 2.描点： 3.连线： 思考1：二次函数的图象有什么特点？ 抛物线 探究环 对称轴 顶点 问题3：观察二次函数y=x2的图象，其还有什么特点？ 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 体悟环 问题4：在同一个坐标系中，画出二次函数 与 的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … 1.列表： 2.描点、连线. 思考2：这三个二次函数图象有何异同之处？ 相同之处： 不同之处： 内化环 问题4：画出二次函数 、 及 的图象. 思考3：这三个二次函数图象与 、 及 的图象有何联系？ 思考4：这三个二次函数图象与 、 及 的图象有何异同之处？ 内化环 向上 (0,0) y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x=0时， ymin=0. 向下 (0,0) y轴 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时， ymax=0. 方向 向上 向下 大小 越小 越大 2.点Q的坐标是否在 的图象上？ 3.由此推测 的图象与 的图象 是否关于 x 轴对称？ 在 是关于x轴对称 1.在 的图象上任取一点 P( )， 它关于 x 轴的对称点Q的坐标是 ( ). 4.你怎样得到 的图象？ 4.你怎样得到 的图象？ y x O P Q 只要把 的图象沿着x 轴翻折将图象 “复制”出来，就得到 的图象. 归纳小结 若a为其它负数时，这些性质还存在吗？， 问题1 画二次函数 的图象. x 0 1 2 3 4 0 －1 －4 列表 合作探究 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利用对称性画出 y 轴左边的部分. y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 这样我们得到了 的图象. x O y －2 －4 2 4 －2 －4 问题2 观察 的图象跟实际生活中的什么相像？ 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上， 则可以看出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段. x O y -2 －-4 2 4 -2 -4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 受此启发，把 二次函数 y= ax2 的 图象这样的曲线 叫做抛物线. 归纳总结 解：（1）由题意得， m－3≠0且 m2－2m－6=2， 解得 m1=－2，m2=4． 所以满足条件的 m 的值为－2或4； （2）∵当 m－3＞0时，图象有最低点， ∴ m=4，此时二次函数的解析式为 y = x2， ∴当 x＞0时，y 随 x 的增大而增大. 例1 已知函数 是关于x的二次函数． （1）求满足条件的 m 的值； （2）当 m 为何值时，它的图象有最低点？此时当 x 为 何值时，y 随 x 的增大而增大？ 典例精析 ∵当 m－3＜0时，图象有最高点， ∴ m=－2，此时二次函数的解析式为 y=－5x2， ∴当 x＞0时，y 随 x 的增大而减小． （3）当 m 为何值时，它的图象有最高点？此时当x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 例1 已知函数 是关于x的二次函数． （1）求满足条件的 m 的值； （2）当 m 为何值时，它的图象有最低点？此时当 x 为 何值时，y 随 x 的增大而增大？ y＝ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称性 顶点 最值 增减性 开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课堂小结 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴，增减性相同. 不同点：a越小，即|a|越大，抛物线的开口越小． 问题3 在同一坐标系中，画出函数 y=-x2 ，y=-2x2 ， 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 归纳总结 对于二次函数 y=ax2,|a|越大，抛物线的开口越小 系数a对图象的影响 三 1. 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） A. y = B. y = x - 1 C. D. y= -3x2 当堂练习 D 2. 抛物线 y＝－4x2不具有的性质是(　　) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大 D．最高点是原点 A 3.函数 y = -3x2 的图象的开口 ， 对称轴 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧， y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧， y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 y O x $$