19.4 二次函数的应用（ 第1课时 x轴交点、近似根、二次函数与不等式（组）、利润）（教学课件）数学北京版九年级上册

19.4二次函数的应用 主讲： 京改版九年级上册 第19章 二次函数与反比例函数 复习导入 已知：二次函数 ， （1）它的图象的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ， 当x = 时，函数有最 值，这个值是 ； （ 4，-3 ） x = 4 4 大 -3 （2）当6≤x≤8时，该函数的最大值 、 最小值分别是 ． -11 -5 当x＞4时， ． y随x的增大而减小 求二次函数最大（小）值时要关注自变量的取值范围，利用顶点坐标或二次函数的性质得出结论． 学习目标 目标 1 目标 2 1.灵活运用二次函数的图象和性质，会图象法求一元二次方程的近似根； 2.综合运用二次函数与不等式（组） 解决相关问题； 目标 2 2.运用二次函数在经济问题上的应用。 自学指导 仔细阅读教材P55---P56。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.应用二次函数的图象、性质等可以解决生活中的哪些实际问题? 实践 探究新知 如果二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴的交点坐标分别为 (x,,0),(x₂,0),那么x₁和x₂的值有什么特殊的意义?这种特殊意义可以有怎样的应用? 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标是使二次函数y=ax²+bx+c的值为零时自变量x的值.也就是说，二次函数 y=ax²+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0的解. 这一事实说明，我们可以利用二次函数y=ax²+bx+c的图象来求一元二次方程ax²+bx+c=0的近似解。 例1．利用函数图象求一元二次方程 的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数 ，列表并作出图象． x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … -2 -4 -2 … 典型例题 1 2 3 y x O 4 5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 -0.82 0 -1 4.82 5 4 ∴方程精确到0.1的近似解为 x1≈ -0.8，x2≈ 4.8 ． 利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象求出一元二次方程ax2+bx+c =0 (a≠0)的解的方法称为图像法． 知识要点 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 解法？ 图象 利用二次函数y=x2-2x-3的图象，你会解不等式x2-2x-3＞0，x2-2x-3＜0吗？ x2-2x-3＞0 y＞0 x2-2x-3＜0 y＜0 x＜-1或x＞3 -1＜x ＜ 3 （1）图象与x轴 有2个交点； （2）图象与x轴只 有1个交点； （3）图象与x轴 没有交点. Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c （a＞0）的图象 知识要点 Δ＞0时 ax2+bx+c＞0（a＞0） x＜x1或x＞x2 ax2+bx+c＜0（a＞0） x1＜x＜x2 知识要点 ax2+bx+c＞0（a＞0） ax2+bx+c＜0（a＞0） 无解 x ≠ Δ=0时 知识要点 Administrator (A) - Δ＜0时 ax2+bx+c＞0（a＞0） ax2+bx+c＜0（a＞0） 无解 全体实数 知识要点 Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 y=ax2+bx+c (a＞0)的图象 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 y x O y x O y x O x2 x1 x1=x2 x＜x1或x＞x2 x≠ 全体实数 x1＜ x ＜ x2 无实数解 无实数解 注意： 乘以(-1) a＞0 a＜0 知识要点 典型例题 例 求不等式x2-5x＜0的解集 分析：（1）求一元二次方程x2-5x=0的根； （2）画出二次函数y=x2-5x的示意图； （3）结合方程的根及示意图求不等式的解集． 解： x2-5x = 0． x(x-5) = 0． 解得：x1=0， x2=5． ∴不等式x2-5x＜0的解集为0＜x＜5． 例 某超市按每袋20元的价格购进某种干果．在销售过程中发现，该种干果每天的销售量w（袋）与销售单价x（元）满足w=-2x+80(20≤x≤40)．如果销售这种干果每天的利润为y（元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 单件成本 日销售量 销售单价 每天的利润 － （ ） × = 20 w y x =-2x+80 单件利润 典型例题 解： = -2x2+120x－1600 = -2(x－30)2 +200 ． ∵20≤x≤40 ， ∴当x=30时，y最大值=200 ． 且a=-2＜0， 答：当干果销售单价定为每袋30元时，销售这种干果每天的利润最大，最大利润是200元． y = w(x－20) = (-2x+80)(x－20) 2．分析实际问题中的等量关系，列出二次函数表达式，将实际问题转化为数学问题加以解决； 3．运用二次函数的图象和性质求实际问题的最大（小）值时，要注意自变量的取值范围． 1．利润问题要明确利润、成本、售价、销量等几个量之间的等量关系（如：单件利润=单价-单件成本，总利润=单件利润×销量 等）； 知识要点 某超市试销一种新型商品，每个成本为50元，规定试销期间的销售单价不低于成本价，又不高于每个70元，试销中销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式． 典型例题 ∴ 400 = 60k+b 300 = 70k+b， 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0) ∵图象经过(60，400)，(70，300)两个点 解得： ∴ y与x的函数关系式为y=-10x+1000． k =-10 b =1000 ， （2）设销售该商品获得的总利润为P元，求P与x之间的函数表达式，并判断：当销售单价为多少元时，获得的总利润最大？最大利润是多少？ 分析：总利润=（销售单价－单个成本）×销售量 P x 50 y=-10x+1000 （2）由题意得： P= (x-50)(-10x+1000) = -10x2+1500x-50000 = -10(x-75)2 + 6250 ． ∵50≤x≤70 ， ∵a =-10＜0 ， ∴当x＜75时，P随x的增大而增大． ∴当x=70时，P最大值=6000 ． 答：P与x的函数表达式为P= -10x2+1500x-50000，当销售单价为70元时，获得的总利润最大，最大利润是6000元． 求二次函数最值要关注自变量取值范围，并注意以下两点： 1．如果图象顶点横坐标在自变量取值范围内，则顶点的纵坐标就是函数的最大（小）值； 2．如果图象顶点横坐标不在自变量取值范围内，则需结合二次函数的图象和性质确定最大（小）值． 求二次函数最大（小）值时，要避免不看自变量取值范围，直接将顶点的纵坐标作为最大（小）值． 知识要点 典型例题 例 某商品现在的售价是每件60元，每天可卖出240件．现商家想调整价格，增加利润，经市场调查，如果该商品每件涨价1元，那么每天就少卖出8件；如果每件降价1元，每天就多卖出15件．已知商品的进价为每件40元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：① 若涨价销售，设每件商品涨价m元，每日利润为y1元． 由题意得：y1=(20+m)(240-8m) = -8m2+80m+4800 = -8(m-5)2+5000 ． ∵0≤m≤30 ，且a=-8＜0 ， ∴当m=5时，y1有最大值，最大值是5000 ． 由题意得：y2=(20-n )(240+15n ) = -15n2+60n+4800 = -15(n-2)2+4860 ． 解：② 若降价销售，设每件商品降价n 元，每日利润为y2元． ∴当n =2时，y2有最大值，最大值是4860 ． ∵0≤n ≤20 ，且a=-15＜0 ， ∵ 4860＜5000 ， ∴当m=5时，函数最大值为5000． 即销售单价为60+5=65（元）． 答：当销售单价定为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是5000元． 涨价 降价 1.分析题目条件，找到等量关系，建立利润与价格（单价或变化的价格）之间的函数关系式； 2.确定自变量取值范围； 3.在自变量取值范围内，确定函数的最大值，即最大利润． 2．在自变量的取值范围内求二次函数最大（小）值，注意顶点是否在自变量取值范围对应的图象上； 3．题目条件较复杂时要关注对重要条件语句的分析． 1.自变量取值范围的确定要依据已知条件和实际意义； 知识要点 注意 步骤 基础检测 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 1．观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19 解：令y＝x2﹣x，根据表格，可以看出y＝x2﹣x在1.1≤x≤1.9上y的值随x的增大而增大， ∴当x2﹣x＝1.1，即y＝1.1时，y＝x2﹣x的值域取值范围是0.96≤y≤1.19，它对应的定义域是1.6≤x≤1.7， ∵与0.96相比，y＝1.1更接近于1.19， ∴方程x2﹣x＝1.1的定义域更接近于1.7． C 2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点， ∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0． ﹣3＜x＜0 1.已知抛物线y＝x2+4x+k﹣1． （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+k﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＞0 ∴k＜5， 则k的取值范围为k＜5； （2）根据题意得：b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＝0， 解得k＝5． 一展身手 1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出8件，每降价1元，每星期多卖12件，已知商品进价为每件40元，问如何定价才能使利润最大？ 解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元． 此时每件盈利60-40+x＝20+x（元），销售量为300-8x（件）； ∴y＝（20+x）（300-8x） ＝-8x2+140x+6000 ∵a＝-8＜0， ∴当x8.75时，y取得最大值， 此时y＝6000+612.5＝6612.5 即定价为60+8.75＝68.75元时，才能使利润最大； 挑战自我 设每件降价x元时的总利润为y元． 此时每件盈利60-40-x＝20-x（元），销售量为300+12x（件）； ∴y＝（20-x）（300+12x）＝-12x2-60x+6000 ∵a＝-12＜0， ∴当x2.5时，y取得最大值， 此时y6075； 即定价为60-2.5＝57.5（元）时利润最大，最大值为6075元． 综合所述，定价为68.75元时可获得最大利润，最大利润为6612.5元． 课堂小结 二次函数的应用 3.二次函数在经济问题上的应用 1.抛物线与x轴的交点，图象法求一元二次方程的近似根 2.二次函数与不等式（组） 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$