第2章有理数复习学案2025-2026学年苏科版七年级数学上册

2025年秋七年级数学上册导学案(2-19) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第2章有理数复习 学习目标： 1、 巩固有理数的有关概念；熟练地使用相关法则进行运算。 2、 强化有理数的混合运算。 3、能灵活运用有理数的相关知识解题。 学习重点：有理数的运算、分类思想、数形结合的思想的运用。 学习难点：掌握有理数的相关概念、运算法则，灵活进行有理数混合运算。 一、知识梳理： 二、知识要点： 1、比0 的正数，比0 的负数。0与正负数是并列关系的一个数，既不是正数，也不是负数， 2、非负整数指不是负整数的整数，即正整数和零；非正整数指不是正整数的整数，即负整数和零。 3、规定了_____、 ______ 和 ________ 的_____ 叫数轴。 4、数轴的应用：（1）知数画点；（2）知点读数。 5、数轴上的点与数之间的关系： 数轴上的点与有理数或无理数是一一对应的关系。体现“数形结合”的思想。 6、数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 绝对值的表示方法：数的绝对值记作：。 任意一个有理数的绝对值是 数.是任意一个数，那么 。 7、只有 不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数。 0的相反数是0；互为相反数的两个数的绝对值相等。。 正数的绝对值是它_____；负数的绝对值是它__________；0的绝对值是_______。 也可以表示为：当a>0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0. 即 8、有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，绝对值相等时，和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数与0相加，仍得这个数。 9、使用运算律通常有下列几种方法： （1）能凑整的先凑整,简称凑整结合法； （2）把正数与负数分别结合在一起再相加,简称同号结合法； （3）有相反数的先把相反数相加,简称相反数结合法； （4）遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法． 10、有理数减法法则：减去一个数，等于______这个数的________。 即a–b=a+(–b) 11、有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； （4）按有理数加法法则计算． 12、有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0与任何数相乘都得0。 13、有理数的乘法的步骤：先确定积的符号；再把绝对值相乘.。 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由 决定。 当负因数有_____个时，积为负；当负因数有_____个时，积为正。 （2）几个数相乘,如果其中有因数为0，_________。 14、有理数除法法则： （法则1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b＝a×（b≠0）（化除为乘）； （法则2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数， 都得0。（整除时，较常用） 15、 求相同因数的积的运算叫做 ， 乘方运算的结果叫 ； 其中a叫做底数，n叫做指数。 16、乘方（幂）的符号法则： 正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，零的非零任何次都是 。 16、 一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数， 像这样的记数法叫做科学记数法。 注意：（1）a 是只含一位整数的有理数；（2）n是正整数。 17、科学记数法中a与n的确定： (1)a就是把原数的小数点移动到左边第1个不是0的数字后面所得到的数； (2)n的值比原数的整数位数少1. 18、有理数混合运算顺序 先 ，后 ，最后 ；如果有括号，先进行 的运算。 19、合理进行有理数的混合运算 在有理数的混合运算中,对于同级运算,一定要注意按从左向右的顺序进行,还要注意正确 运用运算律,简化运算过程。 三、问题研讨： 例1、（1）如图1，在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”将它们连接起来。 ； （2）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了 2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度， 如此进行了2023次，问蚂蚁最后在数轴上对应的数是 ；若蚂蚁不是从原点出发， 其他情况不变，进行了2025次对应的数为1314，那么蚂蚁是出发时对应的数为 。 （3） 如图2，数轴上点A、点B对应的数分别为-1，4，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。 ①若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为 。 ②数轴上是否存在点P？使P到点A、点B的距离之和等于9，若存在，请求出点P。 ③当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每分钟2个单位长度的速度 向左运动，点B以每分钟3个单位长度的速度向右运动，问它们同时出发 分钟时， 点P到点A、点B的距离相等。 例2、（1）计算： ； ； ； 。 （2）简便计算： ； ； ； 。 例3、某超市周年店庆推出两种促销方式，方式①：所有商品进行七五折销售。 方式②：一次购物每满200元送60元现金。试解答下列问题： （1）杨师傅要购买标价为628元和788元的商品各一件。现有下列四种购买方案。 方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买。 方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买。 方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买。 方案四：628元和788元的商品合起来按促销方式②二购买。 请你帮杨师傅计算出这四种购买方案所付金额，并给杨师傅提出最省钱的购买方案。 （2） 计算表中标价在600元到800元之间。括号不含600元和800元商品的付款金额。 根据上表计算结果你能总结出来商品最实惠的购买规律吗？ 例4、 已知：b是最小的正整数,且a、b满足（c-5）2+|a+b|=0,请回答问题(只回答第三题） 已知：b是最小的正整数,且a、b满足（c-5）2+|a+b|=0, （1）请直接写出a、b、c的值．a= ,b= ,c= 。 （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时 （即0≤x≤2时）,请化简式子：|x+1|-|x-1|+2|x+5|（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运 动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由；若不变,请求其值． 4、 拓展提高： 1、如图，某校“桃李餐厅”把WiFi密码做成了数学题， 萌萌在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码， 顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络， 萌萌输入的密码是 。 2、右图是一个数值转换机的示意图， 若输入的x的值为3，y的值为－2时， 则输出的结果为 。 若输入的x的值为a，y的值为6时， 则输出的结果为-11，则a= 。 4、日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法，让人们的排队时间更短。 实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间,，一个人除去自身办公以外，所需消耗的时间称为这个人的排队时间，如:若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人的排队时间为0，第二个人的排队时间为3，第三个人的排队时间为7，不难发现,对每个人来说，满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足，于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短，假设现有三人需要排队办公，分别为甲、乙、丙,他们的办公时间分别为 20，23，29。 数据计算：对三种排队方案进行计算比较。 方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙,则总排队时间为 方案二:排队方式顺次为乙、丙、甲,则总排队时间为 方案三:排队方式顺次为丙、乙、甲,则总排队时间为 实验结论：对比可知,方案 的总排队时间最短(填“一”“二”或“三”). 推广证明：甲、乙、丙三人排队办公,他们的办公时间分别为a、b，c(其中a<b<c), 请给出所有的排队方式,从中选出总排队时间最短的方案并证明。 五、强化训练： 1、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点的相距1个单位长度， 点A、B、C、D表示的数是整数a、b、c、d，且d-2a=10， 则数轴上的原点是（ ）。 A、a B、b C、c D、d （ ） A、-78或116 B、-78或-116 C、78或116 D、78或-116 3、一个自然数的立方可以“分裂”成为若干个连续奇数的和，例如分别可以按如图 所示的方式“分裂”成两个，3个和4个连续奇数的和， 且， 若也按照此规律进行“分裂”时， 则列出的奇数中最大的是 。 。 6、计算： ； ； ； ； 7、检修小组从A地出发，在东西上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负， 每天行驶记录如下（单位：千米）：－4，＋7，－9，＋8，＋6，－4，－3 　　（1）求收工时距A地多远？ 　　（2）距A地最远的是哪一次？ 　　（3）若每千米耗油0.3升，从出发到收工时共耗油多少升？ 8、某超市对顾客实行优惠规定如下： （1）如果一次购物不超过200元，则不予打折；（2）如果一次购物超过200元，但不超过 500元的，按标价给予九折优惠；（3）如果一次购物超过500元其中500元按第（2）条 给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠，试问： 　　①若某人第一次购物买了标价为400元的物品，他应付款为 元； 　　②若此人第二次购物付了486元的钱，则他所购买的物品总标价为 元； 　　③若此人只去超市一次购买了与①②中两次同样的商品，则应付款 元。 学科网（北京）股份有限公司 $$