第2章 解直角三角形（知识清单）数学青岛版九年级上册

第2章 解直角三角形 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 1）锐角A的______________的比叫做角A的正弦。记作sin A，即； 2）锐角A的______________的比叫做角A的余弦。记作cos A，即； 3）锐角A的______________的比叫做角A的正切。记作tan A，则 2.锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的_________，也称为锐角A的_______________。 3.30°，45°,60°角的三角比 三角函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4.当锐角A逐渐增大时它的正弦_______，即_____________；余弦________，即____________。正切值逐渐增大且tan A>o。 5.互为余角的三角比的关系：若A + B=90°，则_____________________________。 6.同角的三角比的关系：____________________________________. 7.由直角三角形中____________________________的过程，叫做解直角三角形． 8.解直角三角形的主要依据: 1）角之间的关系：_________________________； 2）边之间的关系：____________________; 3）边角之间的关系：______________________________________________________________________.9.解直角三角形的类型 已知条件 结论 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) ∠A，∠B,b 两直角边(如a，b) ∠A，∠B,c 一边 一角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B,a,b 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B,b,c 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B,a,c 总结：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的_______________(至少有一条边)，可求出其余的_________________(知二求三). 10.当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为_______________________，把问题转化为解直角三角形。 11.解直角三角形应用 1）仰角、俯角 视角：_____与______的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在______________的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在_______________的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的_____________和___________的比叫做坡面的坡度（或坡比）. 坡角：______与__________的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按_________转到目标方向的水平角叫做方位角。 方向角：指北或指南方向线与____________线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 结合本章实际内容划分具体的易错点，先对易错内容进行总结或者说明，然后配相应的例题，通过实际应用加深理解。 易错点1 锐角三角函数概念混淆 错误：不能准确的分清正弦、余弦、正切的概念导致错误． 注意：正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因为要牢记它们分别是哪两条边的比值。 例题1 在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 记错特殊角三角函数值 错误：因记错三角函数值导致错误。 注意：要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式进行相关计算。 例题2 若，则的值是（   ） A． B． C． D． 易错点3 非直角三角形未转化 错误：把非直角三角形当作直角三角形直接计算三角比． 注意：非直角三角形要通过作高转化成直角三角形再进行计算． 例题3 如图，在中，，，求． 1．已知在中，，，，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 4．如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．的值是（    ） A． B．1 C． D． 6．如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 7．如图，在中，，则的长为 ． 8．计算： 9．如图，在中，，求和的长． 10．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 解直角三角形 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 1）锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦。记作sin A，即； 2）锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦。记作cos A，即； 3）锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切。记作tan A，则 2.锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比，也称为锐角A的三角函数。 3.30°，45°,60°角的三角比 三角函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4.当锐角A逐渐增大时它的正弦逐渐增大，即0<sin A<1；余弦逐渐减小，即0<cos A<1。正切值逐渐增大且tan A>o。 5.互为余角的三角比的关系：若A + B=90°，则sin A=cos B,cos A=sin B。 6.同角的三角比的关系： = tan A,sin A2+cos A2=1 7.由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 8.解直角三角形的主要依据: 1）角之间的关系：∠A ＋ ∠B = 90 °； 2）边之间的关系：a2＋b2＝c2 ; 3）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 9.解直角三角形的类型 已知条件 结论 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) ∠A，∠B,b 两直角边(如a，b) ∠A，∠B,c 一边 一角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B,a,b 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B,b,c 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B,a,c 总结：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 10.当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形。 11.解直角三角形应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比）. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角。 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 结合本章实际内容划分具体的易错点，先对易错内容进行总结或者说明，然后配相应的例题，通过实际应用加深理解。 易错点1 锐角三角函数概念混淆 错误：不能准确的分清正弦、余弦、正切的概念导致错误． 注意：正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因为要牢记它们分别是哪两条边的比值。 例题1 在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 易错点2 记错特殊角三角函数值 错误：因记错三角函数值导致错误。 注意：要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式进行相关计算。 例题2 若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：； 故选：A． 易错点3 非直角三角形未转化 错误：把非直角三角形当作直角三角形直接计算三角比． 注意：非直角三角形要通过作高转化成直角三角形再进行计算． 例题3 如图，在中，，，求． 【答案】10 【解析】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 1．已知在中，，，，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解：， 故选：A． 6．如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 【答案】/ 【解析】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为:． 7．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【解析】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 8．计算： 【答案】 【解析】解： 9．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【解析】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 10．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【解析】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$