第2章 解直角三角形（复习讲义）数学青岛版九年级上册

第2章 解直角三角形（复习讲义） 1．掌握直角三角形中的边角关系，熟记特殊角的三角函数值。 ①掌握锐角三角比的定义；②熟记特殊角的三角函数值。 2．掌握解直角三角形的两种类型。 ①掌握已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形方法;②掌握已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 3．理解并利用三角函数解决实际问题。 ①能够识别和应用三角函数解决仰俯角问题；②能够利用三角函数解决方位角问题；③能够利用三角函数解决坡度比问题。 知识点01：锐角三角比 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 1）锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦。 2）锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦。 3）锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切。 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比，也称为锐角A的三角函数。 知识点02：30°，45°,60°角的三角比 知识点03：锐角A的有关规律 1）三角比的取值范围： 当0°< A <90°时，0<sin A<1；0<cos A<1；tan A>0. 2）互为余角的三角比的关系： 若A + B=90°，则sin A=cos B,cos A=sin B 3） 同角的三角比的关系： = tan A,sin A2+cos A2=1 知识点04：解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: 1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； 2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; 3）边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型 1）已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形。 2）已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 知识点07：解非直角三角形时 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形。 知识点08：解直角三角形应用 （1）仰俯角问题 （2）方位角问题 （3）坡度比问题 题型一 求角的三角函数值 【例1】中，若，，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∴，，，， 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：中，，，， ， ． 故选：． 【变式1-2】如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式1-3】如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 题型二 已知角度比较三角函数值的大小 【例2】已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 【变式2-1】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴； 故选D． 【变式2-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【变式2-3】比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【解析】解：，， ∴， 故答案为：． 题型三 互余两角三角函数的关系 【例3】在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解：∵中，，， ∴， 故选C． 【变式3-1】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ； 故选：B． 【变式3-2】比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 【答案】= 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：=． 【变式3-3】在直角三角形中，，且，则 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型四 特殊角三角函数值的混合运算 【例4】计算： ． 【答案】 【解析】解： ． 【变式4-1】计算：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式4-2】计算：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式4-3】计算：． 【答案】 【解析】解： 题型五 特殊角三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【变式5-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 【变式5-2】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【变式5-3】在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 题型六 解非直角三角形 【例6】在中，，求的长． 【答案】 【解析】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 【变式6-1】在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式6-2】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【解析】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式6-3】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型七 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例7】如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【解析】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【变式7-2】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【解析】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【变式7-3】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【解析】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型八 解直角三角形的应用 【例8】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【答案】 【解析】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 【变式8-1】如图，防洪大堤（横断面为梯形）长150米，高7米，背水坡的坡角为．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比为，则完成这项工程需要 立方米土石．（结果保留根号） 【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则米，米． 在中， ， 为等腰直角三角形， 米． 在中，，解得， 米， 梯形的面积为（平方米）， 完成这项工程需要立方米土石． 【变式8-2】如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【答案】米． 【解析】解：作于点F，于点G 在中，∵ ∴， ∴米， ∵山坡的坡度，米， ∴，即， ∵ ∴ ∴米，米， ∵ ∴四边形是矩形 ∴米，（米）， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴（米）， ∴． 答：这块宣传牌的高度为米． 【变式8-3】周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） (1)求山顶C到的距离（结果保留整数）； (2)若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 【答案】(1)1873米 (2)玉玉先到达山顶C，见解析 【解析】（1）如图：过点D作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：，，，， 在中， ，米， （米），（米）， 米， 在中，米，， （米）， （米）， 山顶C到的距离约为1873米； （2）玉玉先到达山顶C， 理由：在中，，米， 米， 米，思思的爬山速度为70米/分，玉玉的爬山速度为60米/分，玉玉的平路速度为90米/分， ∴思思到达山顶 C 需要的时间（分）， 玉玉到达山顶 C 需要的时间（分）， ∵， ∴玉玉先到达山顶 C． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．在中，，，，则等于（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：∵在中，，，， ∴，即， ， ∴， 故选：B． 2．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ，， ，， ， 故选：D． 3．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 5．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【解析】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 二、填空题 6．比较大小： ． 【答案】 【解析】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 7．在中，若满足，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，取格点D，连接， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 【答案】 【解析】解：如图，由题意得，，，， 在中，， ， 故答案为：． 10．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．计算：． 【答案】10 【解析】解： ． 12．如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴， ∴． 13．若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【解析】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 14．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)若为边上的中线，求的值． 【答案】(1)６ (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵为边上的中线， 即E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为80米，已知一号楼的高为50米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 【答案】64米 【解析】解：过点、分别作，，垂足分别为、， 由题意得，，， ，，， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：二号楼的高度约为64米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，， ， ， 故选：B． 2．如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】D 【解析】如图： 由题知，，，， 由勾股定理，得， ． 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 【答案】D 【解析】A、在中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为、，根据勾股定理得斜边为 ，所以，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，解题关键在于对三角函数定义以及概念的把握. 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【答案】B 【解析】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 二、填空题 6．若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 7．如图，中，，，中，，，，过A作，则的长为 ． 【答案】/ 【解析】解：如图，过B分别作，垂足分别为H、G． ， A、D、B、C四点共圆． ，∠ABC=∠ADC． ，， ． ． 又， ． ． ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中，， 故答案为：． 8．如图，将边长为的正方形绕点A旋转一周得到正方形，连接，，旋转过程中，若，则点到的距离为 ． 【答案】或． 【解析】解：当点在下方时，如图1，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于，于， 由旋转可知：， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为， 当点在上方时，如图2，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于，于， 同理可得： ，，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为， 综上所述：点到的距离为或。 故答案为：或． 9．如图，地在地的正东方向，有大山阻隔，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则地到地之间高铁线路的长是 （结果保留整数）．（参考数据：；；．） 【答案】595 【解析】解：如图，过点B作于点D， ∵B地位于A地北偏东方向，距离A地， ∴，， 在中，， ， ∵C地位于B地南偏东方向， ∴， 在中，， ∴． 答：A地到C地之间高铁线路的长为． 故答案为：595． 10．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处．    （1）的值为 ； （2）如图，连接并延长交于点，则的值为 ． 【答案】 【解析】（1）解：如图，连接，延长交于点，    ∵是边的中点， ∴， ∵将正方形纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 故． 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点，    ∵将正方形纸片沿折叠，点落在点处， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形的外角性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等．熟练掌握以上知识并正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： （2）解： ．　 12．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 13．如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 14．如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 【答案】米． 【解析】解：延长交于点H，由题意可得，四边形，，均为矩形， 米，米， 设米 ， 米 米，米 在中， ∴ 解得 米 ∴建筑物的高度为米． 15．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【解析】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 解直角三角形（复习讲义） 1．掌握直角三角形中的边角关系，熟记特殊角的三角函数值。 ①掌握锐角三角比的定义；②熟记特殊角的三角函数值。 2．掌握解直角三角形的两种类型。 ①掌握已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形方法;②掌握已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 3．理解并利用三角函数解决实际问题。 ①能够识别和应用三角函数解决仰俯角问题；②能够利用三角函数解决方位角问题；③能够利用三角函数解决坡度比问题。 知识点01：锐角三角比 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 1）锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦。 2）锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦。 3）锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切。 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比，也称为锐角A的三角函数。 知识点02：30°，45°,60°角的三角比 知识点03：锐角A的有关规律 1）三角比的取值范围： 当0°< A <90°时，0<sin A<1；0<cos A<1；tan A>0. 2）互为余角的三角比的关系： 若A + B=90°，则sin A=cos B,cos A=sin B 3） 同角的三角比的关系： = tan A,sin A2+cos A2=1 知识点04：解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: 1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； 2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; 3）边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型 1）已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形。 2）已知直角三角形的斜边和一条锐角解直角三角形。 知识点07：解非直角三角形时 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形。 知识点08：解直角三角形应用 （1）仰俯角问题 （2）方位角问题 （3）坡度比问题 题型一 求角的三角函数值 【例1】中，若，，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 题型二 已知角度比较三角函数值的大小 【例2】已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】比较大小（用连接），，， ． 题型三 互余两角三角函数的关系 【例3】在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 【变式3-3】在直角三角形中，，且，则 ． 题型四 特殊角三角函数值的混合运算 【例4】计算： ． 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】计算：． 【变式4-3】计算：． 题型五 特殊角三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式5-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【变式5-3】在中，若，则是 ． 题型六 解非直角三角形 【例6】在中，，求的长． 【变式6-1】在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【变式6-2】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【变式6-3】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型七 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例7】如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式7-1】如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【变式7-2】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【变式7-3】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型八 解直角三角形的应用 【例8】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【变式8-1】如图，防洪大堤（横断面为梯形）长150米，高7米，背水坡的坡角为．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比为，则完成这项工程需要 立方米土石．（结果保留根号） 【变式8-2】如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【变式8-3】周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） (1)求山顶C到的距离（结果保留整数）； (2)若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．在中，，，，则等于（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 5．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 二、填空题 6．比较大小： ． 7．在中，若满足，则 ． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为 ． 9．如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 10．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 三、解答题 11．计算：． 12．如图，在中，，，．求的值． 13．若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 14．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)若为边上的中线，求的值． 15．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为80米，已知一号楼的高为50米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 能力提升进阶练 一、单选题 1．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 2．如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 5．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 二、填空题 6．若，则 ． 7．如图，中，，，中，，，，过A作，则的长为 ． 8．如图，将边长为的正方形绕点A旋转一周得到正方形，连接，，旋转过程中，若，则点到的距离为 ． 9．如图，地在地的正东方向，有大山阻隔，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则地到地之间高铁线路的长是 （结果保留整数）．（参考数据：；；．） 10．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处．    （1）的值为 ； （2）如图，连接并延长交于点，则的值为 ． 三、解答题 11．计算 (1) (2) 12．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 13．如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 14．如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 15．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$