3.2 勾股定理的逆定理（同步练习）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级上册苏科版 第三章 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理（同步练习） 一、选择题 1．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（　　） A．：：：4：5 B．， C．，， D．，， 2．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 3．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 6．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，10 C．8，11，12 D．10，14，15 7．下列说法错误的是（　　） A．有限小数都是有理数 B．带根号的数不一定是无理数 C．实数与数轴上的点一一对应 D．满足的三个实数，称为勾股数 8．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(　　). A．∠A=90° B． C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．∠A=∠C=45° 9．将一个直角三角形的三边都扩大为原来的3倍后，得到的新三角形为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、填空题 10． 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为　 　． 11．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为． 12．若a，b，c为的三条边，且满足，则是　 　三角形． 13．世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数：　 　． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为　 　． 14．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是　 　． 15．在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为　 　． 16．观察下列各式，你有什么发现？ 32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，… 用你的发现解决下列问题： （1）填空：112=　 　 +　 　 ； （2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：　 　 17．在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图，已知中，，，是内的一点，且，，，则的度数为　 　． 18．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为　 　．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为　 　． 三、解答题 19．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ. （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由. （2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由. 20．已知，，为正数，满足如下两个条件： ① ② 证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形. 21．把三根长为3cm、4cm和5cm的细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形. （1）如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1），那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形， 为什么？ （2）如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm（x>0），那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗？为什么？如果能，请判断这个三角形的形状（锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），并说明理由. 22．已知 、 、 分别是 的三边. （1）分别将多项式 ， 进行因式分解. （2）若 ，试判断 的形状，并说明理由. 23．如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1． （1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中 与平面展开图中 的大小关系？ 24．如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. （1）如图甲，求证：； （2）如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； （3）如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．A 10． 11． 12．直角 13．（答案不唯一）； 14．10 15． 16．60；61；（2n+1）2=（）+（） 17． 18．15；29 19．（1）解：AP=CQ． 理由如下： ∵∠PBQ=60°，且BQ=BP， ∴△BPQ为等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°， ∴∠CBQ=∠ABP， 在△ABP和△CBQ中， ， ∴△ABP≌△CBQ（SAS）， ∴AP=CQ． （2）解：△PQC是直角三角形． 理由如下：∵BP=BQ，∠PBQ=60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ=PB=4． 又CQ=AP=3，PC=5， ∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2， ∴△PQC是直角三角形． 20．证明：证法1：将①②两式相乘，得， 即， 即， 即， 即， 即， 即，即， 即， 所以或或，即或或. 因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合①式，由②式可得， 变形，得③ 又由①式得，即， 代入③式，得， 即. ， 所以或或. 结合①式可得或或. 因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形. 21．（1）解：把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1）， ∴ ， ， ∴ ， ∴边长扩大为原来的a倍，仍能搭成一个直角三角形 （2）解：把这三根细木棒的长度分别延长x cm， ∵（3+x）+（4+x）=7+2x， ∵x>0， ∴7+2x>5+x， ∴（3+x）+（4+x）>5+x； ∴以（3+x）、（4+x）、（5+x）为边，能搭成一个三角形； ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴这个三角形为锐角三角形 22．（1）解： . （2）解： 是等腰三角形或直角三角形. ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ . ∵ 、 、 分别为 的三边， ∴ 或 . ∴ 或 . ∴ 是等腰三角形或直角三角形. 23．（1）解：在平面展开图中可画出最长的线段长为 ． 如图（1）中的 ，在 中 ，由勾股定理得： 答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）． （2）解： 立体图中 为平面等腰直角三角形的一锐角， ． 在平面展开图中，连接线段 ，由勾股定理可得： ． 又 ， 由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形． 又 ， 为等腰直角三角形 ． 所以 与 相等． 24．（1）证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴ （2）解：，理由如下：在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：存在．或， 理由如下，由题意可得， ∴ ∵以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴ 即 解得：， 当， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：， 综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$