专题11.3 乘法公式（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题11.3 乘法公式（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 利用乘法公式进行运算】 2 【题型2 利用乘法公式进行简算】 3 【题型3 利用乘法公式变形求值】 3 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 4 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 4 【题型6 乘法公式的证明】 5 【题型7 利用乘法公式求最值】 6 【题型8 乘法公式的实际应用】 7 知识点1 两数和乘以这两数的差 1. 两数和乘以这两数的差 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 两数和乘以这两数的差的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点2 两数和（差）的平方 1. 两数和（差）的平方 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 两数和（差）的平方的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【题型1 利用乘法公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【变式1-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【题型2 利用乘法公式进行简算】 【例2】简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知 ，若a是整数，，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 【题型3 利用乘法公式变形求值】 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 【变式3-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 【例4】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的完全平方式，则的值是（    ） A．−20 B． C．20 D．无法确定 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ． 【变式4-3】请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式5-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【变式5-2】如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【题型6 乘法公式的证明】 【例6】如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是(     ) A．  B．   C． D．   【变式6-1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，左边的长方形可以看成将右边边长为的正方形挖掉一个边长为的小正方形后拼成的．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 【题型7 利用乘法公式求最值】 【例7】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 【变式7-2】已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； (2)求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； (3)试比较多项式与的大小． 【题型8 乘法公式的实际应用】 【例8】学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简； (2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值． 【变式8-1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-2】如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x． （1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 乘法公式（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 利用乘法公式进行运算】 2 【题型2 利用乘法公式进行简算】 6 【题型3 利用乘法公式变形求值】 9 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 10 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 12 【题型6 乘法公式的证明】 15 【题型7 利用乘法公式求最值】 18 【题型8 乘法公式的实际应用】 22 知识点1 两数和乘以这两数的差 1. 两数和乘以这两数的差 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 两数和乘以这两数的差的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点2 两数和（差）的平方 1. 两数和（差）的平方 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 两数和（差）的平方的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【题型1 利用乘法公式进行运算】 【例1】（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，积的乘方，同底数幂相乘，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （3）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （4）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （5）运用平方差公式进行计算，即可作答． （6）运用平方差公式进行计算，即可作答． （7）运用平方差公式进行计算，即可作答． （8）先运算平方差公式，再运算完全平方公式，即可作答． （9）先运算平方差公式，完全平方公式，再合并同类项，即可作答． （10）先运算平方差公式，完全平方公式，再去括号，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： （8）解： ； （9）解： （10）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 【题型2 利用乘法公式进行简算】 【例2】简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据有理数的混合运算，构造平方差公式即可求解． 【详解】解：原式=100002-（10-1）×（10+1）×101×10001 =100002-（100-1）×（100+1）×10001 =100002-（10000-1）×（10000+1） =100002-100002+1 =1 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，构造平方差公式进行计算是解题的关键． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知 ，若a是整数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 将原式变形为，再由平方差公式计算即可． 【详解】解：， ∵a是整数，， ∴，， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算，解题关键是掌握平方差公式． 先利用平方差公式计算，化简算式后，再求出（为正整数）的个位数字的规律，然后利用规律求解． 【详解】解： ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， 余2， 则的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：B． 【题型3 利用乘法公式变形求值】 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了换元代入法求代数式的值．通过变量替换简化方程，利用完全平方公式求出，再利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式以及因式分解的应用；将两式作差并利用完全平方公式计算后再与0比较大小即可． 【详解】解： ∵ ∴ 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． 将代入得，求出，，求出． 【详解】解：将代入得： ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 【例4】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的完全平方式，则的值是（    ） A．−20 B． C．20 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据完全平方式公式推算即可． 【详解】解：∵是个完全平方式，则 ∵， ∴ ∴ 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了完全平方式的定义，一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，理解判断方法是解题的关键．关于的二次三项式是一个完全平方式，则的判别式等于0，据此即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：或6． 故答案为：2或6． 【变式4-3】请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ． 【详解】解：， 或 故答案为：或． 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 【变式5-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【答案】（1）；z；（2）；（3）；；（4）49 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据可得答案； （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1）． ，， 故答案为：，； （2） ； （3）， ，， 故答案为：，； （4），， ， 即大正方形的面积为49． 【变式5-2】如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】45 【分析】依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点， ∴AM＝BM＝， ∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM ＝a2＋b2 ＝a2＋b2﹣（a＋b）2 ＝（a＋b）2﹣2ab﹣（a＋b）2 ＝100﹣30﹣25 ＝45， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 【题型6 乘法公式的证明】 【例6】如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是(     ) A．  B．   C． D．   【答案】D 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式；分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证． 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式是解题的关键．观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案． 【详解】解：大正方形的面积为， 而大正方形的面积等于两个长方形面积加两个正方形的面积， 故大正方形的面积为， ∴， 故选：B． 【变式6-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，左边的长方形可以看成将右边边长为的正方形挖掉一个边长为的小正方形后拼成的．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，由图形可得，左边图形的面积为，右边图形阴影部分的面积为，由此即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，左边图形的面积为， 右边图形阴影部分的面积为， 故通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是， 故选：A． 【变式6-3】如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出图形之间的面积关系是解题关键．图：四个全等的四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图：四个全等的四边形的面积等于平行四边形的面积，由此即可得． 【详解】解：图：四个全等的四边形的面积为， 图：四个全等的四边形的面积为， 则可以验证的乘法公式是， 故答案为：． 【题型7 利用乘法公式求最值】 【例7】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键． 先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最小值为； 即的最大值为，最小值为， 它们的差为． 故选：D 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先数轴上两点之间的距离得到，，然后求出，，然后利用完全平方公式将原式变形，进而求解即可． 【详解】∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到2的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∵可以表示为数轴上y到的距离加上y到1的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∴ ∴当，时，有最大值 ∴原式． ∴的最大值为65． 故答案为：65． 【变式7-2】已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据题意得到，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； (2)求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； (3)试比较多项式与的大小． 【答案】(1)9 (2)； (3)当或时，当或时，，当时，． 【分析】本题考查了配方法的应用，涉及到整式的运算，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）仿照示例，利用配方法，得到，的值，结合已知条件，得到的值，得到结果； （2）化简原式，把看作一个整体，把原式化为，利用配法，得到代数式的最小值； （3）利用作差法，求两个代数式的差，得到，再对其进行讨论，得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ..，， ，， ，， ，，，都是正整数， ， ， △的周长是9， 故答案为：9； （2）解： ， ， ， 代数式的最小值为3， 此时， 即； （3）解： ， 当时，即或时， 当时，或时，即或时，， 当时，时，即时，， 综上，当或时， 当或时，， 当时，． 【题型8 乘法公式的实际应用】 【例8】学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简； (2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积求出，再根据，得到，进而求得，即可求出正方形边长b的值． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地的边长为， 正方形空地的面积为， “红五月”三个正方形平台的面积为， 阴影部分的面积为； （2）解：阴影部分的面积为288平方米， ， ， ， ， ， , ． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键． 【变式8-1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．设，，由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，根据完全平方公式得出，进一步计算即可求解． 【详解】解：解：设，， 由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100， 可得，，， 即①，②， 由①得，③， ③②得 ， 所以， 即长方形的面积为7， 故选：A． 【变式8-2】如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x． （1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 【答案】（1）x2﹣4y2（2）8xy平方米 【详解】试题分析：（1）结合图形、根据平方差公式计算即可； （2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可． 解：（1）八年3班的卫生区的面积=（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]=x2﹣4y2； 八年4班的卫生区的面积=（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]=x2﹣4y2； （2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2=8xy． 答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米． 【变式8-3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 【答案】类比探究：；应用：（1）217；（2）12；拓展：19平方米 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； 应用：（1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： ， 故答案为：； 应用：（1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， ∴ ； 拓展：设，由题意得，，，即， （平方米）， 即种草区域的面积和为19平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $