第09讲 等式与方程（知识清单+易错+5必考题型）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版2024）

第09讲 等式与方程 题型梳理 易错分析 易错点一 应用等式的基本性质2时，忽略等式两边不能同时除以0而致错 题型方法 题型一 等式 题型二 等式的基本性质 题型三 方程 题型四 从实际问题到方程 题型五 方程的解与解方程 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 易错分析 【易错点一】应用等式的基本性质2时，忽略等式两边不能同时除以0而致错 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】小明学习了等式的基本性质后，做了下面结论很荒谬的推理： 如果，那么，，① 则，② 则，③ 则，④ 则．⑤ 以上推理错误的步骤的序号为（   ） A．⑤ B．③ C．③⑤ D．②③ 【变式3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型方法 【题型一】等式 【例1】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲骑自行车，乙骑摩托车．出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后再经1小时乙到达A地．求甲、乙的速度分别是多少？符合题意的等量关系是（    ） A．甲行驶3小时的路程乙行驶1小时的路程 B．甲的速度乙的速度3 C．甲行驶3小时的路程乙行驶3小时的路程90 D．甲的速度乙的速度90 【举一反三】【变式1】x的一半比它的3倍少5，用等式表示应为 ． 【变式2】“比a的3倍大5数等于a的4倍”可用等式表示为 ． 【变式3】如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ． 【题型二】等式的基本性质 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得 ． 【题型三】方程 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【题型四】从实际问题到方程 【例4】将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多16颗；如果每人3颗，那么就少24颗．设有糖果x 颗，则可得方程为（     ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数学课外活动小组的女生人数占全组人数的，如果再加入6名女生，那么女生人数就占全组人数的一半，设这个课外活动小组原有名同学，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【变式3】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了1.5小时．已知水流的速度是4km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为 ． 【题型五】方程的解与解方程 【例5】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的解，则值为 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．带负号的数一定是负数． B．方程是一元一次方程． C．数轴上的点都表示有理数． D．单项式的次数是2． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 10．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 13．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 15．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 三、解答题 16．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 17．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等式与方程 题型梳理 易错分析 易错点一 应用等式的基本性质2时，忽略等式两边不能同时除以0而致错 题型方法 题型一 等式 题型二 等式的基本性质 题型三 方程 题型四 从实际问题到方程 题型五 方程的解与解方程 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 易错分析 【易错点一】应用等式的基本性质2时，忽略等式两边不能同时除以0而致错 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等式的性质的知识，逐选项进行作答，即可求解； 【详解】解：A、∵， ∴，选项A不符合题意； B、∵， ∴，选项B不符合题意； C、∵， ∴，选项C不符合题意； D、∵， ∴不成立，可能为0；选项D符合题意； 故选：D； 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立； 等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A、两边同时加，，一定成立； B、两边同时减，，一定成立； C、两边同时乘，，一定成立； D、两边同时除以，需，若，式子无意义，因此不一定成立； 故选：D． 【变式2】小明学习了等式的基本性质后，做了下面结论很荒谬的推理： 如果，那么，，① 则，② 则，③ 则，④ 则．⑤ 以上推理错误的步骤的序号为（   ） A．⑤ B．③ C．③⑤ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，理解等式的性质是解题关键．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：从第④步到第⑤步的过程中，是在等式左右两边同时除以， 而在前提中确定了，即：， 等式的性质2：等式左右两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立， 则从④到⑤，与等式的性质2矛盾， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质1和性质2．根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故该选项错误； B、若，则，故该选项正确； C、若，则或，故该选项错误； D、若，则，故该选项错误； 故选：B． 题型方法 【题型一】等式 【例1】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲骑自行车，乙骑摩托车．出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后再经1小时乙到达A地．求甲、乙的速度分别是多少？符合题意的等量关系是（    ） A．甲行驶3小时的路程乙行驶1小时的路程 B．甲的速度乙的速度3 C．甲行驶3小时的路程乙行驶3小时的路程90 D．甲的速度乙的速度90 【答案】A 【分析】本题考查行程问题，因为乙在相遇后一个小时到达A地，说明甲在3个小时中走的路程，乙只需要1个小时就可以走完，由此逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，甲在3个小时中走的路程，乙只需要1个小时就可以走完， 因此乙的速度是甲的速度的3倍， 故选项A正确，选项B，C错误； 由相遇时乙比甲多行驶了90千米，可得：乙的速度甲的速度90， 故选项D错误， 故选A． 【举一反三】【变式1】x的一半比它的3倍少5，用等式表示应为 ． 【答案】 【分析】根据语句列方程即可． 【详解】解：x的一半比它的3倍少5，用等式表示应为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列方程，正确掌握“半，多，少”一这样的词汇． 【变式2】“比a的3倍大5数等于a的4倍”可用等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程：理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式3】如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ． 【答案】（a+b）（2a+b）= 【分析】根据长方形的面积=2个大正方形的面积+3个长方形的面积+1个小正方形的面积列式即可． 【详解】由题意得：（a+b）（2a+b）=， 故答案为：（a+b）（2a+b）=． 【点睛】此题考查多项式乘多项式与图形面积，正确理解图形面积的构成是解题的关键． 【题型二】等式的基本性质 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．利用等式的性质对每个等式进行变形即可得出答案． 【详解】解：A、如果，那么，故A正确，不符合题意； B、如果，且时，那么，故B选项错误，符合题意； C、如果，那么，故C正确，不符合题意； D、如果，那么，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：A. 如果，两边同时加3应得，但选项A中右边变为，不符合等式性质，错误； B. 原式，两边同时加得，即，但选项B中结果为，错误； C. 原式，两边同时除以2得，但选项C中结果为，计算错误； D. 原式，两边同时乘以2得，符合等式两边同乘同一数的性质，正确． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边都加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是等式，等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键． 根据等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、如果，当时，可得，故本选项变形错误； B、如果，那么，故本选项变形错误； C、如果，当时，可得，故本选项变形错误； D、如果，那么，故本选项变形正确； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质，把方程变形，得出用含有x的代数式表示y即可． 本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方程两边同时除以，得． 故答案为：． 【题型三】方程 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【题型四】从实际问题到方程 【例4】将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多16颗；如果每人3颗，那么就少24颗．设有糖果x 颗，则可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“如果每人2颗，那么就多16颗”可得人数为：，根据“如果每人3颗，那么就少24颗”可得人数为：，人数相等，即可得出答案. 【详解】根据人数相等可得：，故答案选择：C. 【点睛】本题考查的是列一元一次方程，认真审题找出等量关系式是解决本题的关键. 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数学课外活动小组的女生人数占全组人数的，如果再加入6名女生，那么女生人数就占全组人数的一半，设这个课外活动小组原有名同学，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是设未知数，找准等量关系． 根据题意，设原有名同学，原女生人数为，加入6名女生后，总人数变为，此时女生人数为，且占全组人数的一半，由此建立方程． 【详解】解：设全组原有人，则女生为人，根据题意得， ， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 【变式3】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了1.5小时．已知水流的速度是4km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为 ． 【答案】3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4） 【分析】根据路程=速度×时间即可列出方程. 【详解】解：根据题意得，船顺流时的速度为：（x+4）km/h， 船逆流时的速度为：（x﹣4）km/h， 则可列方程：3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4）. 故答案为3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4）. 【点睛】本题考点：列方程. 【题型五】方程的解与解方程 【例5】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 将代入方程中，即可求解出的值． 【详解】解：由题可知，方程的解是， 将代入方程中，即， 解得：， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义，把分别代入各个选项中的方程，分别求出方程的左边和右边，然后根据一元一次方程解的定义进行计算，并判断即可． 【详解】解：把代入中，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边=右边， 是此选项方程的解，故此选项符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的解，则值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解以及代数式的运算，得到“”是解决本题的关键． 先将代入方程，可得，再整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】由题意列方程得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，使方程两边相等的未知数的值；熟知方程解的含义是解题的关键．根据方程的解定义逐项判断即可． 【详解】解：当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， ∴是方程的解； 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了方程的整数解，正确求解方程是解题关键．解方程得到，根据x为正整数确定k的可能整数值． 【详解】解：解得：， 为正整数， 必须为正整数，即为4的正因数， 4的正因数有1、2、4， 对应、2、4， 解得、1、3， 整数k的可能值有3个. 故选C． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据不等式的基本性质意义判断即可； 【详解】解：：等式两边同乘，无论是否为0，等式成立（若，两边均为0，仍成立），故A正确． ：当时，分母为0，此式无意义，故B错误． ：等式两边同加，故C正确． ：等式两边同减，故D正确． 故选B． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， B．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， C．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， D．若，则时，，变形不正确，故该选项符合题意． 故选：D． 7．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．带负号的数一定是负数． B．方程是一元一次方程． C．数轴上的点都表示有理数． D．单项式的次数是2． 【答案】D 【分析】根据有理数的分类、一元一次方程的定义、单项式的定义等分析判断 【详解】A、带负号的数不一定是负数，如：－a，可能是正数、负数或者0，故原说法错误； B、方程是分式方程，故原说法错误； C、数轴上的点可以表示有理数，也可以表示无理数，故原说法错误； D、单项式的次数是2，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的分类、一元一次方程的定义、单项式的定义等，属于基础题型． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，先根据一元一次方程的解的定义求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 10．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】由题意得，方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，准确理解题意是解题的关键． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得， 故答案为：4． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：2． 13．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：设去年同期这个景点接待市民游客万人， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 三、解答题 16．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 17．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$