3.1 勾股定理的探究 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级上册苏科版 第三章 勾股定理 3.1 勾股定理的探究（同步练习） 一、选择题 1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”，若，，则正方形的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　） A．144 B．49 C．64 D．25 3．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三个角的比为 B．三条边满足关系 C．三条边的比为 D．三个角满足关系 4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有(　　). A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 6．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（　　） A．0 B．1 C． D． 7．如图，，D，E为BC边上的两点，且，连结EF，BF有下列结论：①；②△ABD等腰三角形；③∠ADC=120°；④.其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 8．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 9．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号） 10．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为　 　． 11．如图，四边形 ABCD 的对角线AC 与 BD 相互垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为　 　. 12．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　． 13．我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 则S2的值是　 　. 14．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　． 15．等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为　 　． 三、解答题 16．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，点 E 在直线BC上(不与点B，C重合)，连接DE，过点 D 作DF⊥DE 交直线AC 于点F，连接EF. （1）如图①，当点 F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系. （2）如图②，当点 F 不与点A 重合时，请写出线段AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由. （3）若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF 的长. 17．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c；在正方形IECF中，IE=EC=CF=FI=x。 （1）探究1 小明发现了求正方形边长的方法：由题意可得BD=BE=a-x，AD=AF=b-x，因为AB=BD+AD，所以a-x+b-x=c，解得x= 　 　。 （2）探究2 小亮发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系．请根据小亮的思路完成他的求解过程。 （3）探究3 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理(注：根据比例的基本性质，由 可得ad=bc)。 18．如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． （1）若点P在AC上，且满足时，求此时t的值； （2）若点P恰好在的平分线上，求t的值； （3）若以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值． 19．如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 20．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 21．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则： ①线段PB= ，PC= ； ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） 参考答案 1．A 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C 7．C 8．55 9．③④ 10．5 11． 12．24 13．​​​​​​​ 14． 15． 16．（1）解：EF=BE. （2）解：过点 A 作AG⊥AC 交ED 延长线于点G，连接FG， ∴AG∥BC， ∴∠AGD=∠BED， 在△AGD和△BED中：∵∠AGD=∠BED，∠ADG=∠BDE，AD=BD， ∴△AGD≌△BED， ∴AG=BE， ∵FD垂直平分GE， ∴ ∵GF2=AG2+AF2， ∴EF2=BE2+AF2； （3）解：如图，当点E 在线段 BC上时， 设AF=x，则CF=5-x，BE=2，由 得 如图，当点E在BC 延长线上时， 设AF=x，则CF=5-x，BE=4，同理由 得x=1. 综上所述，AF 的长为 或1. 17．（1） （2）解：∵S△ABC=S△ABI++S△BIC+S△AIC ∴ ab= cx+ ax+ bx，∴ x= （3）解：根据(1)和(2)得x= ，即2ab=(a+b+c)(a+b-c)， 化简得a2+b2=c2… 18．（1） （2）或24 （3）2或19或20或 19．（1）解：是等边三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 在等边三角形中，，， 又， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． ​​​​​​​ 20．（1）， （2）证明：如图2中，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 （3）解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是智慧三角形． ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，是智慧三角形． 设， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 综上所述，满条件的的面积为16或 21．（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或． 学科网（北京）股份有限公司 $$