专题05 均值不等式及其应用9大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题05 均值不等式及其应用9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、配凑法求最值 2 题型三、“1”的代换 5 题型四、双换元法求最值 6 题型五、条件等式有和有积求最值 8 题型六、多次基本不等式求最值 10 题型七、消元法求最值 12 题型八、恒成立问题 14 题型九、实际问题 17 B 综合攻坚·能力跃升 20 题型一、直接法求最值 1．已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 2．设，则的最大值为 . 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知当时，代数式取得最小值，则 ． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 题型二、配凑法求最值 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 8．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 9．求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 10．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 题型三、“1”的代换 11．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 13．已知正数满足，则取到最小值时， ； 14．已知，求函数的最小值． 15．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 题型四、双换元法求最值 16．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 17．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 18．已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 19．已知，，，则的最小值为 . 题型五、条件等式有和有积求最值 20．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 22．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 23．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 24．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 题型六、多次基本不等式求最值 25．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 26．已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．已知正实数，满足，则的最小值是 . 28．已知，求的最小值． 题型七、消元法求最值 29．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 30．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 31．若实数x，y满足，则的最大值是 ． 32．若则的最小值为 33．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型八、恒成立问题 34．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 35．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 36．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 37．已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 38．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 39．（多选）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 题型九、实际问题 40．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 41．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 42．如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    43．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 44．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价． 1．已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 5．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 6．已知正实数，满足，则的最小值为 . 7．已知，则的最大值为 ． 8．已知，，点在函数的图像上，且，则的最小值为 ． 9．问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 均值不等式及其应用9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、配凑法求最值 2 题型三、“1”的代换 5 题型四、双换元法求最值 6 题型五、条件等式有和有积求最值 8 题型六、多次基本不等式求最值 10 题型七、消元法求最值 12 题型八、恒成立问题 14 题型九、实际问题 17 B 综合攻坚·能力跃升 20 题型一、直接法求最值 1．已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 2．设，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【详解】因为，则，即， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，，则，解得，即充分性成立； 若，不妨取，则不等于2，即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B 4．已知当时，代数式取得最小值，则 ． 【答案】36 【详解】因为，则，当且仅当时取等号， 由题有， 故答案为：. 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 题型二、配凑法求最值 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 7．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】，，则， ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 8．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 9．求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 10．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 题型三、“1”的代换 11．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B 12．已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为是正实数，则， 当且仅当即，时取得等号． 故选：A． 13．已知正数满足，则取到最小值时， ； 【答案】 【详解】由正数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以取到最小值时，. 故答案为：. 14．已知，求函数的最小值． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即． 15．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 题型四、双换元法求最值 16．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 又的最小值为16， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16． 所以，即． 若，显然的最小值为16． 故选：A． 17．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 18．已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 19．已知，，，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为， 当且仅当时，即等号成立. 故答案为：1． 题型五、条件等式有和有积求最值 20．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 21．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 22．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：当， 时，成立，此时，故B错误 因为， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以有 得，所以有，当或时等号成立. CD正确； 故选：CD 23．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为是正数，所以，令， 则不等式可化为， 即，所以，取等条件为，. 故答案为： 24．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 题型六、多次基本不等式求最值 25．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 26．已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 27．已知正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】3 【详解】因为，，当且仅当，时取等号， 所以， 当且仅当，时原不等式取等号. 故答案为：3. 28．已知，求的最小值． 【答案】16 【详解】. ， 当且仅当时等号成立， 所以待求式的最小值为16. 题型七、消元法求最值 29．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 30．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 31．若实数x，y满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为实数x，y满足， 所以，所以， 所以，， 所以当时，有最大值，最大值为. 故答案为：. 32．若则的最小值为 【答案】 【详解】由，得， 则，由，得， 因此 ， 当且仅当，即时等号. 故答案为： 33．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：， ； 当时，； 当时， （当且仅当，即时取等号）； 当时，（当且仅当，即时取等号）； 综上所述：，即的最大值为. 故选：D. 题型八、恒成立问题 34．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 35．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 36．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 37．已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 38．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 或（舍去）， 则的最小值为4. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 即， ∴ 39．（多选）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 题型九、实际问题 40．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 41．已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是. 故选：C. 42．如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 43．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 44．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价． 【答案】(1) (2)至少应达到万件，每件定价元. 【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以该商品每件定价最多为元. （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为元， 当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 1．已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：C. 2．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 3．已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得，则， 结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 4．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 5．表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，. ，，都是正实数，则 即.可得. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 6．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 7．已知，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由基本不等式知，， 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 8．已知，，点在函数的图像上，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.75 【详解】因为点在函数的图像上，且， 所以，即， 即，因为，所以， 所以， 当时，，可得的最小值为， 当且仅当，即，时等号成立； 当时，，可得的最小值为， 当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 9．问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是； （2）， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故； （3）设，由，解得， ，又，则， 构造，由，得，则， 所以由（2）得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以取最小值为，此时m的值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$