专题04 不等式性质与一元二次不等式9大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题04 不等式性质与一元二次不等式9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、作差法或作商法比较大小 1 题型二、不等式的性质 2 题型三、求代数式的取值范围 4 题型四、解不含参的一元二次不等式 6 题型五、解分式不等式、绝对值不等式 7 题型六、由二次不等式的解确定参数 8 题型七、二次不等式的恒成立问题 11 题型八、二次方程根的分布问题 13 题型九、解含参数的一元二次不等式 15 B 综合攻坚·能力跃升 17 题型一、作差法或作商法比较大小 1．若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 2．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则. （2）， 则 3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A 4．已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型二、不等式的性质 5．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，，． 由于，故在不等式上同时乘以a得，即， 因此，． 故选：C 7．（ 2024·25高二下·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（ 2024·25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 9．（多选）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 题型三、求代数式的取值范围 10．已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 11．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 12．已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 13．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 题型四、解不含参的一元二次不等式 14．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 15．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 16．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 17．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 化简得，， 故选：B． 18．解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 题型五、解分式不等式、绝对值不等式 19．（ 2024·25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】原不等式等价于， 则或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或 20．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 21．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以或，所以． 故选：B 22．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得，集合， 集合， 所以． 故选：D． 23．设不等式的解集为，则 . 【答案】1 【详解】原不等式可化为，即，所以，且， 解得，所以，，. 故答案为：1. 题型六、由二次不等式的解确定参数 24．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 25．（ 2024·25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 26．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 27．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 28．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 题型七、二次不等式的恒成立问题 29．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 30．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 31．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 32．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 题型八、二次方程根的分布问题 33．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 34．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 35．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围 ． 【答案】 【详解】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 36．方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 题型九、解含参数的一元二次不等式 37．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 38．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 39．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 【答案】 【详解】由，解得或， 当，即时，， 此时原不等式组不可能有个不等的实数解， 当，即时，， 此时原不等式组无解， 当，即时， 原不等式组的解集为， 因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数， 所以在区间内有个整数， 则区间的长度应满足，解得， 所以， 则在区间内只有两个整数， 所以区间内有个整数， 所以，解得， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，是解决本题的关键. 40．解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 41．解关于的不等式， 【答案】答案见解析. 【详解】不等式， 当时，，解得； 当时，； 当时，或，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 1．（ 2024·25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 2．（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 3．（多选）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABD 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为. 故选：ABD. 4．已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 5．已知关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题知，结合函数图像， 当的右侧与函数相切时，方程，即只有一个根， 此时， 当函数的左侧过点时，结合图象可得， 所以不等式至少有一个负数解，则. 故答案为：. 6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 【答案】B 【详解】对于集合，， 可得当即可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：B 7．定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】得，所以或，即或， 即的整数解为或内的整数， 得， 所以，由题意满足，所以， 所以的解为， 即的整数解为内的整数， 因为与有唯一公共解，所以，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为： 8．已知集合． (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，有，解得或， 所以． （2）因为，所以， 不等式可化为． 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以． 9．对于两个实数，规定． (1)证明：关于的不等式的解集为； (2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或或. 【详解】（1）不等式可化为． 当时，不等式可化为，解得，所以； 当时，不等式可化为，恒成立，所以； 当时，不等式可化为，解得，所以． 综上所述，关于的不等式的解集为. （2）不等式，即，也即， 当时，，解得，，满足． 当时，因为，，， 所以，即，解得或． 当时，即， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以，满足． 当时，即， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以，满足． 综上，或或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 不等式性质与一元二次不等式9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、作差法或作商法比较大小 1 题型二、不等式的性质 2 题型三、求代数式的取值范围 4 题型四、解不含参的一元二次不等式 6 题型五、解分式不等式、绝对值不等式 7 题型六、由二次不等式的解确定参数 8 题型七、二次不等式的恒成立问题 11 题型八、二次方程根的分布问题 13 题型九、解含参数的一元二次不等式 15 B 综合攻坚·能力跃升 17 题型一、作差法或作商法比较大小 1．若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 2．比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 4．已知，试比较和的大小. 题型二、不等式的性质 5．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（ 2024·25高二下·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 8．（ 2024·25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型三、求代数式的取值范围 10．已知，则代数式的取值范围为 ． 11．已知，，则的取值范围是 . 12．已知实数，满足，，则范围是 13．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四、解不含参的一元二次不等式 14．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 15．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 16．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 题型五、解分式不等式、绝对值不等式 19．（ 2024·25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 20．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 21．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 23．设不等式的解集为，则 . 题型六、由二次不等式的解确定参数 24．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 25．（ 2024·25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 26．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 28．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 题型七、二次不等式的恒成立问题 29．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 31．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 32．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型八、二次方程根的分布问题 33．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 34．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 35．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围 ． 36．方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 题型九、解含参数的一元二次不等式 37．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 39．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 40．解关于的不等式（为常数且）. 41．解关于的不等式， 1．（ 2024·25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 3．（多选）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 4．已知实数x、y满足:则 的取值范围是 5．已知关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 ． 6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 7．定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是 ． 8．已知集合． (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围． 9．对于两个实数，规定． (1)证明：关于的不等式的解集为； (2)设关于的不等式的解集为，且，求自然数的所有取值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$