精品解析：四川省成都市龙泉驿区师上学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

师上学校初2023级（八下）数学3月综合训练A卷 一、选择题（每小题4，共32） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这个三角形中（　　） A. 每一个角是锐角 B. 每一个角都是钝角或直角 C. 至多有一个角是锐角 D. 至多有一个角是钝角或直角 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 8. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4，共20） 9. 多项式的公因式是_____． 10. 若关于的不等式的解集如图所示，则___________． 11. 若等式恒成立，则_____． 12. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置．若，则_______°． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是______． 三、解答题（共48） 14. 因式分解： （1）； （2）； （3）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点的对称点的坐标为______； （2）画出绕原点逆时针旋转的； （3）求（2）中点到点所经过的路径长． 16. 如图，在中，，D是上一点，连接，，使得． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 17. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 18. 在中，，，点为边的中点，点为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为，连接，． （1）如图，若点在线段上，，求的度数； （2）如图，若点在线段上，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； （3）若，则点在线段上运动的过程中，当时，求出线段的长． B卷（共50分） 一、填空：（每题4分，共20分） 19. 若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于_____． 20. 若关于的不等式组的整数解只有4个，则的取值范围是_____． 21. 如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ______ ． 22. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则__________． 23. 如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为_____． 二、解答题（共30分） 24. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 25. （1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在中，，点是线段上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交延长线于点，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交于点，作交于点．试探究线段、和之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在上取一点，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 26. （1）如图1，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的大小关系，并说明理由： （2）如图2，在中，，以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； （3）如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师上学校初2023级（八下）数学3月综合训练A卷 一、选择题（每小题4，共32） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形； C选项不是轴对称图形而是中心对称图形； D选项既是中心对称图形又是轴对称图形； 故选D． 2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解的识别，解题的关键是熟知因式分解的定义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A．，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，不符合题意； B．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C．，是因式分解，符合题意； D．，不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，则下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．，当时，，故选项A不符合题意； B．， ，故选项B符合题意； C．， ，故选项C不符合题意； D．， ，故选项D不符合题意． 故选：B 4. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【解析】 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化﹣平移及坐标确定位置，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据点向左平移时，横坐标减小，向上平移时，纵坐标增大即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点向左平移1个单位长度后所得对应点的坐标为， 再向上平移2个单位长度时所得对应点的坐标为． 故选：B 6. 用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这个三角形中（　　） A. 每一个角是锐角 B. 每一个角都是钝角或直角 C. 至多有一个角是锐角 D. 至多有一个角是钝角或直角 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法可直接进行求解． 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这个三角形中至多有一个角是锐角； 故选C． 【点睛】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键． 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题4，共20） 9. 多项式的公因式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母． 先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为． 最大公因数是3． 多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次， 综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y， 所以该多项式的公因式是． 故答案为：． 10. 若关于的不等式的解集如图所示，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题涉及一元一次不等式的求解以及根据不等式解集在数轴上的表示来确定参数的值，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 先求解不等式，得到其解集的表达式；再根据数轴上给出的解集，建立关于m的方程，进而求解m的值． 【详解】解：在不等式两边同时加上m，可得； 然后在不等式两边同时除以2，得到． 由数轴可知，该不等式的解集为． 所以．得到； 解得． 故答案为：5． 11. 若等式恒成立，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法法则和等式恒成立的性质．熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式右边的式子展开，然后根据等式两边对应项系数相等的原则，求出m与n的值，最后再计算的值． 【详解】解：将展开可得： ， 因为恒成立， 所以，． 把，代入，可得． 故答案为：9． 12. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置．若，则_______°． 【答案】40 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形两底角相等列式求出，然后求出，从而得解．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转到， ，， ， ， ， ． 故答案为：40． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了作图基本作图，角平分线的性质，作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵， ∴， 由作图步骤可得为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 三、解答题（共48） 14. 因式分解： （1）； （2）； （3）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） （3）， 数轴如下： 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的常用方法和一元一次不等式组的解法．需熟练掌握因式分解的方法并会正确求解一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）观察到两项都含公因式，提取后即可分解． （2）先提取公因式，剩余部分是平方差形式，再用平方差公式分解． （3）分别解两个不等式：第一个去括号、合并后求x的范围；第二个去分母、移项后求x的范围，最后取两个范围的公共部分并由数轴表示即可． 【小问1详解】 解： 提取公因式，得：． 【小问2详解】 解： 提取公因式： 用平方差公式分解：． 【小问3详解】 解：解不等式组 ◦ 解第一个不等式：去括号得，解得， 解第二个不等式：两边乘3得，移项得． 解集：． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点的对称点的坐标为______； （2）画出绕原点逆时针旋转的； （3）求（2）中点到点所经过的路径长． 【答案】（1） （2） 即为所求： （3）点到点所经过的路径长为 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特点即可得到答案； （2）由点、、绕原点逆时针旋转即可得到、、的坐标，依次连接即可得到； （3）根据题意可得点到点所经过的路径为的长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴点关于原点的对称点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 点到点所经过的路径长为． 【点睛】本题考查了画轴对称图形及弧长的计算，熟练运用弧长公式，掌握关于坐标对称图形的特点：关于对称，不变，相反；关于对称，不变，相反；关于原点对称，、都相反是解题的关键． 16. 如图，在中，，D是上一点，连接，，使得． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各性质并准确理清各角度之间的关系是解题的关键．。 （1）根据等腰三角形的性质得出，，求出，再根据平行线的判定得出即可; （2）求出，根据三角形内角和定理求出，求出，得出，求出，根据等角对等边得出即可. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ． 17. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可直接得出答案； （2）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：根据图像可以看出，关于x的不等式的解集为： ； 【小问2详解】 解：将代入直线，得： ， 解得：， ， 将代入直线，得： ， 解得：， ，； 【小问3详解】 解：对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，从函数的图象获取信息，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 18. 在中，，，点为边的中点，点为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为，连接，． （1）如图，若点在线段上，，求的度数； （2）如图，若点在线段上，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； （3）若，则点在线段上运动的过程中，当时，求出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 过点M作边的垂线交延长线于点G，如图， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，含的直角三角形，通过添加辅助线，构造等腰直角三角形并证明三角形全等得到边和角的关系是解决本题的关键． （1）通过构造辅助线，由角边角的判定证明与全等，由此可得，再结合等腰三角形的性质即可求解； （2）通过构造辅助线，由角边角的判定证明与全等，由此可得，再由等腰直角三角形的性质即可证明； （3）分类讨论点M在线段边上和线段边上，再通过构造辅助线证明三角形全等，由全等三角形的性质得到边和角的关系，使用这一条件求解即可． 【小问1详解】 解：过点M作边的垂线交延长线于点F，如图， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ∴， 即，解得， 当点M在线段上时，过点M作边的垂线交延长线于点H，如图， 由（1）（2）结论可知，≌，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴在中，， 则由勾股定理可知，， 即，解得， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， 即，解得； 当点M在线段上时，过点M作边的垂线交于点N，如图， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵又， ∴在中，， 则由勾股定理可知，， 即，解得， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， 即，解得； 综上，线段的长为或． B卷（共50分） 一、填空：（每题4分，共20分） 19. 若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：∵ab＝2，a+b＝﹣1， a2b+ab2＝ab（a+b） ＝2×（﹣1） ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式是解题的关键． 20. 若关于的不等式组的整数解只有4个，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解只有4个，即可确定的取值范围． 本题主要考查了根据不等式的整数解求参数，正确求解不等式组以及确定参数的取值范围是解答本题的关键． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解只有4个，得到整数解为，，0，1， ∴． 故答案为：． 21. 如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以得到旋转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键． 分类讨论这个直角三角形的直角为是直角和是直角这两种情况，由含有的直角三角形求解边长，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， 即， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当时，连接，如图， ∵， 在，， 综上，的值为4或． 故答案为：4或． 23. 如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，解题的关键是通过构造全等三角形将的长度转化为与已知条件相关的线段． 通过构造辅助线，使用角角边的判定方法证明与全等，即可得，再使用勾股定理表示出与的关系，由完全平方公式求解最小值，即可求解的值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：过点M作交的延长线于点N，如图， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理可得： ， 即当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， 在中，， ∴当最小时，此时长为． 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； 【小问2详解】 设购进腊梅m束，则购进百合束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元． 25. （1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在中，，点是线段上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交延长线于点，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交于点，作交于点．试探究线段、和之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在上取一点，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 【答案】 （1）证明：①小明的思路：在上截取，连接， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， 即为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②小强的思路：作交延长线于点， 由①可知，，即， ∵，， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∵； （3）． 【解析】 【分析】（1）①使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，即可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质可得，即可证明； ②使用角角边的证明方法证明与全等，即可得，再由一条直角边和一条斜边可证明与全等，即可得，再由边的关系即可证明； （2）通过构造辅助线，使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，再由等腰三角形的性质可得，再由边的关系即可证明； （3）通过构造辅助线证明与全等，与全等，与全等，设出，，通过边的关系即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点A作交的延长线于点F， 在的延长线上截取，连接，如图， ∵，即， 且， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴，， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴≌， ∴， 设，， ∵， 即， 即，① 又∵， 即， 即，② 由①－②得，， 整理可得， 即， 即 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和性质，四边形内角和性质，解决本题的关键是通过构造辅助线，即构造垂直或线段相等来判定三角形全等，使用全等三角形的性质等量代换角度或边长 26. （1）如图1，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的大小关系，并说明理由： （2）如图2，在中，，以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； （3）如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，求的最小值． 【答案】 （1），理由如下： ∵， ∴， 即， 又∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，含的直角三角形．解决本题的关键是添加适当的辅助线，如构造等腰直角三角形证明全等或转化边长的关系使用勾股定理求解． （1）由角边角的判定方法可证明与全等，即可得与的大小关系； （2）通过构造辅助线构造等腰直角三角形求解的长度，再由角边角的判定方法证明与全等，由此即可求解； （3）通过构造辅助线，使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，再将的最小值的问题转化为的最小值，通过三点共线使用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角， 使得，连接，如图， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在等腰直角中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 又∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴； （3）连接，在y轴负半轴上取一点D，使得， 作点D关于直线l的对称点，连接，，如图， ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵、， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵点D关于直线l的对称点， ∴， ∴， 要使的值最小，即为的值最小， 即点A，点B，点三点共线，即为， ∵， 在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $