专题2.4 圆周角（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.4 圆周角 教学目标 1.结合图形对比圆心角，明确圆周角“顶点在圆上、两边交圆”的定义，通过实例辨析概念; 2.通过测量、叠合实验，引导归纳同弧所对圆周角与圆心角的关系，推导并证明定理及推论; 3.介绍圆内接四边形概念，结合圆周角定理推导对角互补、外角等于内对角的性质并练习应用。 教学重难点 1.重点：掌握圆周角定义及定理；理解圆内接四边形的性质。 2.难点：圆周角定理的多种情况证明；灵活运用定理及推论解决角度计算问题。 知识点01 圆周角 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角，如图示中的） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 如图示中的 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 【即学即练】 如图，A，B，C三点都在上，连接，，，，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 知识点02 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 【即学即练】 如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型01 圆周角的概念 【例1】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 【变式1-2】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 【变式1-3】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 【变式1-4】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 题型02 圆周角定理 【例2】如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-1】如图，点、、在上，点为外一点，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设与交于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的度数可以是． 故选：A． 【变式2-2】将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 由题意得，，， ，， ，， ，， ， 的度数可能为， 故选：A． 【变式2-3】如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，设于点， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， 故选：D ． 【变式2-4】如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-5】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 解圆周角问题需先明确圆周角定义，找准顶点在圆上且两边交圆的角；紧扣定理 “同弧或等弧所对圆周角相等且等于圆心角一半”，解题时先定位角所对的同一条弧，通过弧的关联转化角度关系 题型03 直径（半圆）所对的圆周角是直角 【例3】如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 【变式3-1】如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 【答案】45 【详解】解：连接， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：45． 【变式3-2】如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3-3】如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3-4】如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 题型04 90°圆周角所对的弦是直径 【例4】如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 7 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 【变式4-2】如图，矩形中，，点在边上从点向点运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点，的对应点分别为点，，连接交于点． 甲：点不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， 四边形关于直线对称的四边形， ，，， ， 点在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点在上， 点与点不会重合，即点不可能落在上，故甲对； 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 从点在点位置开始，点，运动路径的长度为以点为圆心，分别以，为半径的弧长，且与转过的角度相等， ， 点，运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 【变式4-3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在的延长线上，点F在直线上，连接、，若，则线段的最大值为 ． 【答案】8 【详解】解：在矩形中，，， ，即， ， 点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示： 由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长， 在中，， 则， ． 故答案为：8． 【变式4-4】如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 4 1 【详解】解：由题意得， 点在为直径的圆上，在中， 的半径为是的中点， 三点共线时线段有最值， 如图1，有最大值， 如图2，有最小值． 故答案为：4，1． 题型05 圆内接四边形的性质 【例5】如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【详解】解：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【变式5-1】对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【答案】A 【详解】解：当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，， 此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，， 此时可得， 则四边形为圆的内接四边形， 所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或． 故选：A． 【变式5-2】如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式5-3】如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【答案】D 【详解】解：如图，    由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 【变式5-4】如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 【变式5-5】如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： 由（1）可知，， 弧与弧相等， ， ， 和为等边三角形， ， 四边形是菱形． 解圆内接四边形问题时，先确认四边形顶点是否都在圆上，明确其为圆内接四边形；紧扣性质 “对角互补”（即）和“外角等于内对角”，遇角度计算时通过互补关系转化未知角，遇外角时直接等同于相邻内角的对角，结合圆中其他角（如圆周角）的关系推导，避免忽略顶点在圆上的前提条件。 一、单选题 1．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，四边形为圆O的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵内接于是的直径， ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∵ ∴． 故选：C． 5．一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．∵， ∴点A在半圆内，符合题意； B．∵， ∴点A在半圆上，不符合题意； C．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； D．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； 故选：A．． 6．折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 7．如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 二、填空题 8．如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵， ∴ ， 故答案为：． 9．如图，四边形是的内接四边形，若，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点在线段上时，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 【答案】/160度 【详解】解：连接，，，则，， ∵为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 14．如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为 ． 【答案】8 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：8． 15．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 三、解答题 16．如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：的平分线交于点D，如图所示： （2）解：依题意，连接， ∵点C在以为直径的上， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 即． 17．如图，在中，． (1)使用直尺和圆规，作交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，．根据已作图形，写出图中一个与相等的角 ． 【答案】(1)见详解 (2)见解析， 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图所示： ，， ，平分， 为的直径， ， ， 为的直径， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 18．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴=， ∴， （2）解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 19．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 于点F， ， ， 与都是弧所对的圆周角， ． （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ． 20．如图，直角三角形内接于，连接． 若M、N分别为的中点，射线交于E，射线交于F，连接． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图：连接，并延长交⊙O于T， ， ∴， 又， ∴是的中位线， ， ， ， 又在的同一侧， ∴A、E、M、N四点共圆， 又， ， ∵，， ， 又 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 圆周角 教学目标 1.结合图形对比圆心角，明确圆周角“顶点在圆上、两边交圆”的定义，通过实例辨析概念; 2.通过测量、叠合实验，引导归纳同弧所对圆周角与圆心角的关系，推导并证明定理及推论; 3.介绍圆内接四边形概念，结合圆周角定理推导对角互补、外角等于内对角的性质并练习应用。 教学重难点 1.重点：掌握圆周角定义及定理；理解圆内接四边形的性质。 2.难点：圆周角定理的多种情况证明；灵活运用定理及推论解决角度计算问题。 知识点01 圆周角 圆周角概念：顶点在______上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半 （即：圆周角=圆心角，如图示中的） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角______。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的______一定相等。 如图示中的 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是______ 【即学即练】 如图，A，B，C三点都在上，连接，，，，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点02 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角______，外角等于它的______。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 【即学即练】 如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 题型01 圆周角的概念 【例1】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 题型02 圆周角定理 【例2】如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点、、在上，点为外一点，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 解圆周角问题需先明确圆周角定义，找准顶点在圆上且两边交圆的角；紧扣定理 “同弧或等弧所对圆周角相等且等于圆心角一半”，解题时先定位角所对的同一条弧，通过弧的关联转化角度关系 题型03 直径（半圆）所对的圆周角是直角 【例3】如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【变式3-1】如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 【变式3-2】如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式3-3】如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是 ． 【变式3-4】如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 题型04 90°圆周角所对的弦是直径 【例4】如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【变式4-1】如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【变式4-2】如图，矩形中，，点在边上从点向点运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点，的对应点分别为点，，连接交于点． 甲：点不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【变式4-3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在的延长线上，点F在直线上，连接、，若，则线段的最大值为 ． 【变式4-4】如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 题型05 圆内接四边形的性质 【例5】如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【变式5-1】对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【变式5-2】如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【变式5-4】如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 解圆内接四边形问题时，先确认四边形顶点是否都在圆上，明确其为圆内接四边形；紧扣性质 “对角互补”（即）和“外角等于内对角”，遇角度计算时通过互补关系转化未知角，遇外角时直接等同于相邻内角的对角，结合圆中其他角（如圆周角）的关系推导，避免忽略顶点在圆上的前提条件。 一、单选题 1．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为圆O的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 6．折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 7．如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 8．如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 9．如图，四边形是的内接四边形，若，则 ． 10．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 11．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 12．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 13．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 14．如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为 ． 15．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号） 三、解答题 16．如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 17．如图，在中，． (1)使用直尺和圆规，作交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，．根据已作图形，写出图中一个与相等的角 ． 18．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 19．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 20．如图，直角三角形内接于，连接． 若M、N分别为的中点，射线交于E，射线交于F，连接． 求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$