专题3.1 平均数、中位数、众数和方差（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题3.1 平均数、中位数、众数和方差 教学目标 1.理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，能准确计算一组数据的这四类统计量，明确加权平均数中“权”的意义与作用； 2.掌握方差、标准差的定义，会计算简单数据的方差，能通过方差判断数据的波动程度； 3.理解用样本估计总体的统计思想，能用样本的平均数、方差合理估计总体的对应量； 4.明晰平均数、中位数、众数的区别与联系，能根据实际问题需求选择恰当的统计量描述数据特征。 教学重难点 1.教学重点：加权平均数、中位数、众数的计算与求解，方差的概念、公式及应用（通过方差比较数据波动）。依据实际情境选择合适的统计量描述数据特征，理解并应用用样本估计总体的思想。 2.教学难点：解读加权平均数中“权”的实际含义，尤其是不同形式（频数、百分比等）“权”的转化与应用。理解方差刻画数据波动的原理，及数据特殊时（含极端值等）统计量的合理选择与决策。 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4．众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 【即学即练】 1．某中学在举行“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对某班5位学生所阅读书籍数量情况的统计结果：5，2，4，2，3，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．3，2 B．4，2 C．2，2 D．2，1 【答案】A 【详解】解：将数据从小到大排列：2，2，3，4，5， ∴数据个数为5，是奇数，中位数为第3个数，即3， ∴数据中2出现2次，次数最多，故众数为2． 故选：A ． 2．某商场6月份随机调查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.0，3.1，3.7．据此，可估计该商场6月份的平均日营业额为 万元 【答案】3.2 【详解】解：这天的平均日营业额为（万元）， 估计该商场6月份的平均日营业额为万元． 故答案为：． 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 2．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 【即学即练】 3．学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是 ． 【答案】 【详解】解：平均数为； 方差为． 故答案为： 4．为考察甲、乙两种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数都是13cm，方差分别是，，且，则麦苗又高又整齐的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样整齐 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴麦苗又高又整齐的是甲， 故选：A． 题型01 计算平均数 【例1】已知一组数据123，127，120，118，，132，若它们的平均数是124，那么数据是（   ） A．122 B．123 C．124 D．125 【答案】C 【详解】解：一组数据123，127，120，118，，132，它们的平均数是124， ， ， 故选：C． 【变式1-1】自双减政策落地之后，国家中小学网络云平台访问量迅速攀升，该平台某一周单日访问量数据如下表，则这组数据的平均数是 ． 星期 一 二 三 四 五 六 日 访问量（亿次） 1.5 1.3 1.3 1.5 1.5 1.6 1.8 【答案】1.5 【详解】解：平均数． 故答案为：1.5． 【变式1-2】小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分 【答案】A 【详解】解：设数学成绩为x， 则， 解得． 故选：A． 【变式1-3】某班共有50名学生，平均身高为，其中30名男生的平均身高为，则20名女生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：全班总身高： 男生总身高： 女生总身高： 女生平均身高： 故选：B． 【变式1-4】已知数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4，则这组数据a，b，c，d，e的平均数是 ． 【答案】 【详解】解：∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4， ， ， 则这组数据a，b，c，d，e的平均数是， 故答案为：． 题型02 计算加权平均数 【例2】在竟选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按的比例确定最终得分，则这位同学的最终得分是 分． 【答案】84 【详解】解：（分）， 即这位同学的最终得分是84分， 故答案为：84． 【变式2-1】二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人 将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则 将被录取． 【答案】 李老师 于老师 【详解】解：∵视教学技能与专业知识水平同等重要， ∴，， ∵ ∴如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人李老师将被录取； ∵视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重， ∴，， ∵ ∴如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，那么候选人于老师将被录取； 故答案为：李老师，于老师． 【变式2-2】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【详解】设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【变式2-3】某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是 ． 【答案】88 【详解】解：根据题意得： （分）， 即小明这学期的英语成绩是88分， 故答案为：88． 【变式2-4】德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙，见解析 【详解】（1）解：由题意得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． （2）解：由（1）可知权重比例为3:1:2， 所以， 解得，， 所以， 所以乙学生在“造型设计”方面比较突出 题型03 出错情况下的平均数问题 【例3】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 【变式3-1】某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【答案】B 【详解】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6． 故选B． 【变式3-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 题型04 计算中位数和众数 【例4】为了调查学生的睡眠情况，随机采访了15位同学，他们的睡眠时间（h）如下： 睡眠时间/h 7 7.5 8 8.5 9 人数 3 6 3 2 1 这15位同学睡眠时间（h）的众数和中位数分别是（   ） A．3，3 B．8，8 C．7.5，7.5 D．7.5，8 【答案】C 【详解】解：由表可知，数据7.5出现次数最多，有6次， 所以这组数据的众数为， 这组数据的中位数是第8个数据，而第8个数据是， 所以这组数据的中位数是， 所以这组数据的众数和中位数都是， 故选：C． 【变式4-1】一组数据2，4，3，3，5，2，2的众数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵在数据2，4，3，3，5，2，2中，2出现了3次，3出现了2次，4和5各出现1次， ∴出现次数最多的数是2， ∴这组数据的众数是2． 故选：A． 【变式4-2】五个数据，的中位数和众数都是，则 ． 【答案】或 【详解】解：其余4个数据按顺序排列为：， ∵是中位数，也是众数， ∴或． 故答案为：或． 【变式4-3】一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 【答案】B 【详解】解：∵一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 解得， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 综上可得： 故选：B． 【变式4-4】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 【答案】A 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁； 故选：A． 题型05 平均数与中位数的结合 【例5】某学校的篮球社团的6名队员的身高分别为：175，174，170，180，172，174（单位：）．现增加了两名身高均为180的队员作为替补，与之前相比，该社团队员的身高（    ） A．平均数变大，中位数变大 B．平均数变大，中位数不变 C．平均数不变，中位数变大 D．平均数变小，中位数变小 【答案】A 【详解】解：变化之前身高的平均数为； 将数据排序后，第3个和第4个数据均为，故中位数为174； 变化之后身高的平均数为， 将数据排序后第4个数据和第5个数据分别为174和175，故中位数为， 故平均数和中位数均变大， 故选：A． 【变式5-1】一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．3，3 B．2，3 C．3，2 D．3，11 【答案】A 【详解】∵平均数为5 ∴， 解得， 将这组数从小到大排列为：2，3，3，6，11， ∴中位数为3， ∵3出现的次数最多， ∴众数为3． 故选：A． 【变式5-2】一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为 ． 【答案】7 【详解】一组数据，，，，的平均数是， ， 解得＝， 将这组数据从小到大排列为：，，，，， 这组数据的中位数为． 故答案为：． 【变式5-3】一组数据的中位数为8，则这组数据的平均数等于 ． 【答案】 【详解】解：∵一组数据的中位数为8，且， ∴， ∴， ∴这组数据的平均数为， 故答案为；7． 【变式5-4】如果a，b为给定的实数，且，那么1，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， 把这些数从小到大排列为：1，，，， 则中位数， 平均数为：， ∴这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是： . 故答案为：． 题型06 方差的意义 【例6】甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则这5次测试成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是丁； 故选：D． 【变式6-1】甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小的关系为： （填或）． 【答案】 【详解】解：观察平均气温统计图得： 乙地的平均气温比较稳定，波动较小； 乙地的日平均气温的方差小， ． 故答案为：． 【变式6-2】某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定， ∴能说明甲的成绩较好且更稳定的是且； 故选：C． 【变式6-3】甲、乙两名同学次跳远成绩的方差分别为 ，，则跳远成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【详解】解：∵，， ∴， ∴跳远成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 【变式6-4】甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵，，，，且， ∴乙的方差最小， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B． 题型07 计算方差 【例7】为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了名学生一周阅读用时，结果如下表：则关于这 名学生周阅读所用时间，下列说法中正确的有（   ） 周阅读用时（小时） 学生人数（人） ①中位数是；②众数是；③平均数是；④方差是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①这名学生周阅读所用时间从小到答排列，可得、、、、、、、、、，则这名学生周阅读所用时间的中位数是：，故①正确； ②这名学生周阅读所用时间出现次数最多的是小时，故众数是，故②错误； ③这组数据的平均数是：，故③正确； ④这组数据的方差是：，故④正确； 故选：C． 【变式7-1】已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得； 则方差． 故答案为：2． 【变式7-2】若1、2、3、4、与2、3、4、5、6两组数据方差相同，则 ． 【答案】0或5 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 设，则， ， 整理，得， 解得或， 即或， 解得或， 所以0或5． 故答案为：0或5 【变式7-3】下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为 ． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 【答案】 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 【变式7-4】如果样本的方差为，那么它的样本容量为 ，平均数为 ． 【答案】 3 8 【详解】解：由得它的样本容量为，平均数为， 故答案为：3，8． 题型08 统计量的选择 【例8】苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【答案】(1)850，750，700 (2)平均数最适合用来估计，25500元． 【详解】（1）解：这一周营业额的平均数为元． 把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元； ∵700出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是700元； 故答案为：850，750；700． （2）解：平均数最适合用来估计． （元）． 答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元． 【变式8-1】张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： (1)根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ (2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)路线一，理由见解析． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，上班路上走路线一所用的时间为：，，，，，，，，，， 上班路上走路线一的平均时间为， 上班路上走路线一的个数据中出现次数最多的是，共出现了次， 路线一的众数是； 由折线统计图可知，上班路上走路线二的数据排序为：，，，，，，，，，， 这组数据的中位数为：，极差为； 故答案为：，，，； （2）解：张老师应选择路线一， 理由如下：路线一的平均数，中位数和众数相同， 路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小， 路线一的用时比较稳定． 【变式8-2】小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路所用时间 21 24 15 21 23 22 24 24 26 20 平均数 中位数 众数 方差 线路所用时间 22 线路所用时间 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【答案】(1)，， (2)选择线路，见解析 【详解】（1）解：将线路所用时间按从小到大顺序排列得：，，，，，，，，，，中间两个数是，， ∴线路所用时间的中位数为：， 由题意可知线路所用时间得平均数为： ， ∵线路所用时间中，出现次数最多的数据是， ∴线路所用时间的众数为：， 故答案为：，，． （2）解：根据表格可知：两条线路用时的平均数相同，但是B线路用时的方差小，波动就小，时间可控，故选择B线路． 【变式8-3】某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数为次，众数是18，中位数是18 (2)合格标准应定为18次较为合适，见解析 【详解】（1）解：50名女生一分钟仰卧起坐的平均数为（次）． 这组数据中一分钟仰卧起坐次数为次的人数最多，则众数是18， ，，则中位数是． （2）解：合格标准应定为18次较为合适，因为这组数据差异较大，用中位数描述数据较合适． 【变式8-4】在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【详解】（1）解：由题意得，七年级名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名和第名的学生成绩分别为和， ， 八年级名同学的竞赛成绩的最多，有个， ， 故答案为：；； （2）解：八年级组人数为人， 补全频数分布统计图如图所示． （3）解：（人）， 估计七、八年级测试成绩优秀的共有人． 故答案为：； （4）解：平均数表示两个年级抽取的名学生的平均成绩，从平均数看，，八年级测试成绩较好； 众数表示两个年级抽取的名学生中得分在某个分数的人数最多，从众数看，，八年级测试成绩较好； 中位数表示两个年级抽取的名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩，从中位数看，，八年级测试成绩较好； 方差表示两个年级抽取的名学生的成绩的稳定性，从方差看，，八年级测试成绩较稳定． 一、单选题 1．在公司年度人才盘点中，销售部员工王强的各项能力得分情况如图所示，则王强的平均得分是（   ） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 【答案】D 【详解】解：由图可知，王强工作业绩得分，工作态度得分，持续发展得分，创新能力得分，专业能力得分． 平均得分：． 故选：D． 2．一组数据3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数和方差分别是（   ） A．5， B．5，2 C．4， D．4，10 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 解得， 则从小到大排列为3，4，5，6，7， 则中位数为， 方差． 故选：B． 3．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数不变，方差变小 【答案】D 【详解】解：∵原数据的平均数为， ∴方差为； ∵新数据的平均数为， ∴方差为； 所以新数据与原数据相比平均数不变，方差变小， 故选：D． 4．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：由题意可得：①， ②， 解得：．， 那么第一组数据为；第二组数据为， 将两组数据合并为一组数据并从小到大排列：， 因为数据个数为7，是奇数，处于中间位置的数是6， 所以这组新数据的中位数为6． 故选：C． 5．某校八年级1班甲、乙、丙、丁四名同学几次校园安全知识测试成绩的平均数（分）及方差如下表，老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：从平均数看，成绩最好的是乙和丁， 从方差看，丁和丙方差小，发挥最稳定， 所以老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选丁． 故选：D． 6．对于题目：小明在处理一组数据“11，15，24，30，▉”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．两位同学给出下列结论： 小红：“▉”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 小丽：这组数据的平均数一定小于中位数． 下列判断正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都错 C．小红对，小丽错 D．小红错，小丽对 【答案】A 【详解】解：被污染的数据在之间， 将这组数据按从小到大的顺序排列后为11，15，24，▉，30或11，15，24，30，▉，中位数均为24， 小红对， 当▉为35时，平均数最大为， 这组数据的平均数一定小于中位数， 小丽对， 故选：A． 7．三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩(   ) A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 经过以上计算可得这三人的平均成绩大于分不超过分，可能等于分． 故选：C． 二、填空题 8．下图是根据某中学为山区儿童购买图书捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，请根据统计图计算该校共捐款 元． 【答案】37770 【详解】初一人数为（人）； 初二人数为（人）； 初三人数为（人）． 该校共捐款（元）． 故答案为：37770． 9．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的结果是11.27，结果老师说最后一位错了，其它的数字都对，那么正确答案是 ． 【答案】11.23 【详解】由题可知，总和， ∴145.6≤总和≤146.77， ∵总和是13个自然数的和， ∴总和为整数， ∴总和146， ∴平均数为：． 故答案为：11.23． 10．（掌握）某市5月上旬11天中，日最高气温统计如下表： 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 最高气温 22 22 20 23 22 25 27 30 26 24 27 则这11天某市日最高气温的众数是 ，中位数是 【答案】 【详解】解：分析表格数据，出现次数为3次，且出现次数最多， 故这11天某市日最高气温的众数是； 将11个数按从小到大的顺序排列，得到，处在中间位置的数为 ∴这11天某市日最高气温的中位数是 故答案为：，． 11．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出结果是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确答案应该是 ． 【答案】 【详解】解：∵自然数都是整数， ∴这13个自然数的和一定是一个整数； ∵小明计算出结果是，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对， 则， ∴可以知道这13个自然数的和一定是， 则， 故答案为：． 12．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工和瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 ．（填“变小”“不变”或“变大”） 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 【答案】变大 【详解】解：调整前：员工月工资总和为（元） （元） 调整后：电工人数，木工人数，瓦工人数 员工月工资总和为（元） （元） 因为， 所以与调整前相比，该工程队员工月工资的方差变大， 故答案为：变大． 13．为了向中学生宣传普及汉代文化知识，某班开展了汉代文化知识竞赛，有6个小组参赛，小组人数分别是4，6，4，5，7，8，现从第4小组调出1人去第2小组，则调配后各小组人数分别为4，7，4，4，7，8，关于调配后人数有以下说法：①调配后平均数变小了；②调配后众数不变；③调配后中位数变大了，其中说法正确的是 ．（请填写序号） 【答案】② 【详解】解：①调配后参赛总人数不变，所以调配后的平均数不变，故说法错误； ②调配前小组人数的众数是4，调配后的众数仍然是4，故说法正确； ③把调配前各小组人数按从小到大排列为，则中位数是，调配后的人数从小到大排列为，则中位数是，则调配后的中位数不变，故说法错误． 故答案为：②． 14．已知5个数据的平均数为3，方差是4；另外5个数据的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，则这10个数据的方差为 ． 【答案】5 【详解】解： ， 故答案为5． 三、解答题 15．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 【答案】平均数为；方差为 【详解】解：∵a，b，c，d，e五个数的平均数为m， ∴， ∵a，b，c，d，e五个数的方差为g， ∴， ∴新数的平均数为： ， ∴方差为 ． 16．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，求她的综合成绩． 【答案】她的综合成绩为89分 【详解】解：小婷的综合成绩为（分）， 答：她的综合成绩为89分． 17．在某线上购物平台，商家售卖智能手机需要关注四个方面的评分：外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分．每个方面的评分满分均为5分，这四个方面的评分对商家的最终综合评分都有影响．只有当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号．现在我们关注两家商家A和B，他们在智能手机销售中的部分评分已经公布． 商家 外观设计评分 手机性能评分 拍照功能评分 售后服务评分 A 5 B (1)若平台考虑将外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分的权重设为计算综合评分，请为商家A计算出这一得分，并判断它是否达到了“优质商家”的标准； (2)根据表中数据，能否判断商家B一定达到了“优质商家”的标准，若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 【答案】(1)分，商家A达到了“优质商家”的标准； (2)商家B未达到了“优质商家”的标准，举例见解析． 【详解】（1）商家A的综合评分为：（分）， 当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号， 商家A达到了“优质商家”的标准； （2）商家B不一定达到了“优质商家”的标准， 证明：商家B的综合评分为：， 当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号， 商家B的综合评分为，商家B未达到了“优质商家”的标准． 18．小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下： 小聪：8，8，7，8，9 小明：10，9，7，5，9． (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 _____ 8 _____ 小明 ______ _____ _____ 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差________．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1)8，0.4；8，9，9； (2)老师选择小聪代表班级参赛，理由是两人的平均数相同，但小聪的方差较小，成绩较稳定； (3)变小 【详解】（1）解：小明的平均数为：； 小聪的众数为8；小明的中位数为9；小明的众数是9， 小聪的方差为． 故答案为：8，0.4；8，9，9； （2）解：老师选择小聪代表班级参赛，理由是两人的平均数相同，但小聪的方差较小，成绩较稳定； （3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，则平均数不变，方差变为， 即小明成绩的方差变小． 故答案为：变小． 19．某销售公司有营销人员14人，销售部为了制定某种品牌的净水器的月销售量定额，统计了这14人在某月的销售量如下表： 销售台数 20 18 14 9 7 4 人数 1 1 2 5 3 2 (1)这14位销售员该月销售量的平均数、众数和中位数各是多少台？ (2)销售部经理把每位销售员每月销售量定为10台，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你设计一个比较合理的销售定额，并说明理由． 【答案】(1)平均数10台；众数9台；中位数9台 (2)不合理，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得：这14位销售员该月销售量的平均数为（台）， 将这14位销售员该月销售量按从小到大排列，处在第位和第位的数为和，故中位数为（台）， 这14位销售员该月销售量台出现的次数最多，故众数为9台； （2）解：不合理，理由如下： 因为达到指标的人数太少，应选9台比较合理，因为中位数和众数都是9台，能代表一般水平． 20．为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 【答案】（1）全面调查；（2）169，；（3）选择甲队比较合适，见解析；（4）5 【详解】（1）解：此次采用的调查方式属于全面调查 ， 故答案为：全面调查 ； （2）解：， 将甲队的数据按从小到大的顺序排列，最中间的两个数是169，169， ， 故答案为：，； （3）应选择甲队，理由： ∵， ∴甲队队员的身高比乙队更整齐， ∴选择甲队比较合适； （4）解：从甲队选择身高分别为169，169，169，172，173 的5名队员，从乙队选择身高分别为172，172，172 的3名队员组建新的舞蹈队．故应从甲队挑选5名队员， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平均数、中位数、众数和方差 教学目标 1.理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，能准确计算一组数据的这四类统计量，明确加权平均数中“权”的意义与作用； 2.掌握方差、标准差的定义，会计算简单数据的方差，能通过方差判断数据的波动程度； 3.理解用样本估计总体的统计思想，能用样本的平均数、方差合理估计总体的对应量； 4.明晰平均数、中位数、众数的区别与联系，能根据实际问题需求选择恰当的统计量描述数据特征。 教学重难点 1.教学重点：加权平均数、中位数、众数的计算与求解，方差的概念、公式及应用（通过方差比较数据波动）。依据实际情境选择合适的统计量描述数据特征，理解并应用用样本估计总体的思想。 2.教学难点：解读加权平均数中“权”的实际含义，尤其是不同形式（频数、百分比等）“权”的转化与应用。理解方差刻画数据波动的原理，及数据特殊时（含极端值等）统计量的合理选择与决策。 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数________。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数________。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按________（或________）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于________位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的________是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4．众数 定义：一组数据中出现次数________的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 【即学即练】 1．某中学在举行“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对某班5位学生所阅读书籍数量情况的统计结果：5，2，4，2，3，这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．3，2 B．4，2 C．2，2 D．2，1 2．某商场6月份随机调查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.0，3.1，3.7．据此，可估计该商场6月份的平均日营业额为 万元 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与________差的平方的________，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越________，数据的波动越大；方差越________，数据的波动越小。 2．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 【即学即练】 3．学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是 ． 4．为考察甲、乙两种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数都是13cm，方差分别是，，且，则麦苗又高又整齐的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样整齐 D．不能确定 题型01 计算平均数 【例1】已知一组数据123，127，120，118，，132，若它们的平均数是124，那么数据是（   ） A．122 B．123 C．124 D．125 【变式1-1】自双减政策落地之后，国家中小学网络云平台访问量迅速攀升，该平台某一周单日访问量数据如下表，则这组数据的平均数是 ． 星期 一 二 三 四 五 六 日 访问量（亿次） 1.5 1.3 1.3 1.5 1.5 1.6 1.8 【变式1-2】小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分 【变式1-3】某班共有50名学生，平均身高为，其中30名男生的平均身高为，则20名女生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4，则这组数据a，b，c，d，e的平均数是 ． 题型02 计算加权平均数 【例2】在竟选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按的比例确定最终得分，则这位同学的最终得分是 分． 【变式2-1】二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人 将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则 将被录取． 【变式2-2】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【变式2-3】某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是 ． 【变式2-4】德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 题型03 出错情况下的平均数问题 【例3】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【变式3-1】某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【变式3-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 题型04 计算中位数和众数 【例4】为了调查学生的睡眠情况，随机采访了15位同学，他们的睡眠时间（h）如下： 睡眠时间/h 7 7.5 8 8.5 9 人数 3 6 3 2 1 这15位同学睡眠时间（h）的众数和中位数分别是（   ） A．3，3 B．8，8 C．7.5，7.5 D．7.5，8 【变式4-1】一组数据2，4，3，3，5，2，2的众数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】五个数据，的中位数和众数都是，则 ． 【变式4-3】一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 【变式4-4】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 题型05 平均数与中位数的结合 【例5】某学校的篮球社团的6名队员的身高分别为：175，174，170，180，172，174（单位：）．现增加了两名身高均为180的队员作为替补，与之前相比，该社团队员的身高（    ） A．平均数变大，中位数变大 B．平均数变大，中位数不变 C．平均数不变，中位数变大 D．平均数变小，中位数变小 【变式5-1】一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．3，3 B．2，3 C．3，2 D．3，11 【变式5-2】一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为 ． 【变式5-3】一组数据的中位数为8，则这组数据的平均数等于 ． 【变式5-4】如果a，b为给定的实数，且，那么1，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． 题型06 方差的意义 【例6】甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则这5次测试成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式6-1】甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小的关系为： （填或）． 【变式6-2】某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式6-3】甲、乙两名同学次跳远成绩的方差分别为 ，，则跳远成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【变式6-4】甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型07 计算方差 【例7】为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了名学生一周阅读用时，结果如下表：则关于这 名学生周阅读所用时间，下列说法中正确的有（   ） 周阅读用时（小时） 学生人数（人） ①中位数是；②众数是；③平均数是；④方差是． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 【变式7-2】若1、2、3、4、与2、3、4、5、6两组数据方差相同，则 ． 【变式7-3】下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为 ． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 【变式7-4】如果样本的方差为，那么它的样本容量为 ，平均数为 ． 题型08 统计量的选择 【例8】苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【变式8-1】张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： (1)根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ (2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 【变式8-2】小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路所用时间 21 24 15 21 23 22 24 24 26 20 平均数 中位数 众数 方差 线路所用时间 22 线路所用时间 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【变式8-3】某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【变式8-4】在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 一、单选题 1．在公司年度人才盘点中，销售部员工王强的各项能力得分情况如图所示，则王强的平均得分是（   ） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 2．一组数据3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数和方差分别是（   ） A．5， B．5，2 C．4， D．4，10 3．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数不变，方差变小 4．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．某校八年级1班甲、乙、丙、丁四名同学几次校园安全知识测试成绩的平均数（分）及方差如下表，老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学作为代表参加年级组校园安全知识选拔赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．对于题目：小明在处理一组数据“11，15，24，30，▉”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．两位同学给出下列结论： 小红：“▉”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 小丽：这组数据的平均数一定小于中位数． 下列判断正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都错 C．小红对，小丽错 D．小红错，小丽对 7．三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩(   ) A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 二、填空题 8．下图是根据某中学为山区儿童购买图书捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，请根据统计图计算该校共捐款 元． 9．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的结果是11.27，结果老师说最后一位错了，其它的数字都对，那么正确答案是 ． 10．（掌握）某市5月上旬11天中，日最高气温统计如下表： 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 最高气温 22 22 20 23 22 25 27 30 26 24 27 则这11天某市日最高气温的众数是 ，中位数是 11．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出结果是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确答案应该是 ． 12．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工和瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 ．（填“变小”“不变”或“变大”） 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 13．为了向中学生宣传普及汉代文化知识，某班开展了汉代文化知识竞赛，有6个小组参赛，小组人数分别是4，6，4，5，7，8，现从第4小组调出1人去第2小组，则调配后各小组人数分别为4，7，4，4，7，8，关于调配后人数有以下说法：①调配后平均数变小了；②调配后众数不变；③调配后中位数变大了，其中说法正确的是 ．（请填写序号） 14．已知5个数据的平均数为3，方差是4；另外5个数据的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，则这10个数据的方差为 ． 三、解答题 15．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求的平均数和方差． 16．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，求她的综合成绩． 17．在某线上购物平台，商家售卖智能手机需要关注四个方面的评分：外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分．每个方面的评分满分均为5分，这四个方面的评分对商家的最终综合评分都有影响．只有当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号．现在我们关注两家商家A和B，他们在智能手机销售中的部分评分已经公布． 商家 外观设计评分 手机性能评分 拍照功能评分 售后服务评分 A 5 B (1)若平台考虑将外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分的权重设为计算综合评分，请为商家A计算出这一得分，并判断它是否达到了“优质商家”的标准； (2)根据表中数据，能否判断商家B一定达到了“优质商家”的标准，若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 18．小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下： 小聪：8，8，7，8，9 小明：10，9，7，5，9． (1)填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 _____ 8 _____ 小明 ______ _____ _____ 3.2 (2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ (3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差________．（填“变大”、“变小”或“不变”） 19．某销售公司有营销人员14人，销售部为了制定某种品牌的净水器的月销售量定额，统计了这14人在某月的销售量如下表： 销售台数 20 18 14 9 7 4 人数 1 1 2 5 3 2 (1)这14位销售员该月销售量的平均数、众数和中位数各是多少台？ (2)销售部经理把每位销售员每月销售量定为10台，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你设计一个比较合理的销售定额，并说明理由． 20．为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $