专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 2．（2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 例2（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 例3（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在中，是角平分线，是上的点，相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求的值（用含的代数式表示）． 例4（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 例5（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    例2（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 例3已知：如图，在中，为的角平分线，相交于点． (1)如图1，若，则的度数为 ． (2)如图2，过点作，交延长线于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点，连接交于点，，：，，若，，求的长． 例4（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 1．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是（    ） A．和是等腰三角形 B． C．的周长是 D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角三角形中，直线为的中垂线，射线为的角平分线，且直线与射线相交于点．若，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若，，则的周长是 ．    9．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 10．（24-25河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 12.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 13．（24-25山西八年级期中）如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 15．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 17．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，角平分线、交于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，，则的周长为 ． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的、的角平分线交于点P，过点P作，，，垂足分别为E，G，F，若，，，则 ． 19．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 21．（23-24八年级上·江西宜春·期中）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． (1)请你判断与关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 22．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，中，，角平分线，交于点O． (1)求的度数； (2)点F在上，，请说明； (3)，，三条线段之间有怎样的数量关系，请说明理由． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，在中，，是的角平分线，于点E． 【问题发现】 （1）在中，与的数量关系为 ； 【初步探究】 （2）如图1，连接，求证：是等边三角形； 【拓展延伸】 （3）如图2，点M是线段上的一点（不与点C，D重合），连接，以为一边，在的左侧作，交的延长线于点G．，与之间有怎样的数量关系？请你给出结论，并写出证明过程． 24．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 25．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，CD是的角平分线，点在AC上，BE交CD于点，． (1)若，如图1，求的度数； (2)若，如图2，，求的度数． 26．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 27．（22-23九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明． 如图，在中，D，E是边，且．求证：．    证明：如图，分别连接．设点E到的距离为，点D到的距离为， ，… 任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在中，，，求证：．    28．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 29．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 30．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 32．（24-25八年级上·上海闵行·期中）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究； （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点），如果不存在，请说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； 过点H作于点G，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可得的度数，据此根据三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． 在中，， ． 例2（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不成立，正确的结论是． 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 例3（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在中，是角平分线，是上的点，相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． （1）先根据得出，，再由平分即可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可得出，，故，再由，即可求出，可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ． 平分， ， ，， ； （2）由（1）知，，， ． ，， ． 例4（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 例5（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得到，由折叠的性质可知，则， 可以得到，由此即可得到答案； （2）延长交延长线于点F，同（1）可证，然后证明得到，即可得到． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示，延长交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（三线合一定理）．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线的性质；作 于，利用角平分线的性质证得，由的三边长，根据三角形的面积公式得 ，代入数值计算即可求得的值． 【详解】解：作 于 ，    是 的角平分线， 于点 ， ， 为直角三角形，，，， ， 故答案为 例2（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 例3已知：如图，在中，为的角平分线，相交于点． (1)如图1，若，则的度数为 ． (2)如图2，过点作，交延长线于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点，连接交于点，，：，，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算，解二元一次方程组，三角形等面积法等，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据角平分线得出，确定，再由三角形内角和定理即可求解； （2）设，利用三角形内角和定理得出，，即可证明； （3）根据题意得出，利用三角形内角和定理得出①，再由已知条件确定②，解方程组确定，得出，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵：：7，， ∴， ∵， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴，② 联立①②， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例4（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型． （1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可． （2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可． 【详解】（1）根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ， E是的中点， ， ． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，、 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小， 当时，最小， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故的最小值为4． 1．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形；故①符合题意； ，，故②不符合题意； 又，， 的周长为；故③符合题意； ， ， ， ；故④符合题意； 故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是（    ） A．和是等腰三角形 B． C．的周长是 D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到A正确；根据题意，无法得到，根据等腰三角形的性质，可得，，从而得到的周长，得到C正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断D正确，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形； ，， 又，， 的周长为； ， ， ， ； 故选项A，C，D正确，选项B错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据三角形的内角和定理，求出，再根据是的角平分线，得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】在中，，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角三角形中，直线为的中垂线，射线为的角平分线，且直线与射线相交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了中垂线，角平分线，三角形的内角和，解题的关键是掌握这些知识点．根据直线l为的中垂线得，即，根据射线为的角平分线得，即可得，根据三角形内角和定理和进行计算即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵直线l为的中垂线， ∴， ∴， ∵射线为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若，，则的周长是 ．    【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，即可得到答案． 【详解】∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． 同理可得：． ∴周长， 故答案为：20． 9．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，于，于， 是三角形三条角平分线的交点，， ∵的长分别为，∴．故选：A． 10．（24-25河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC， ∵点是的，的平分线的交点， ∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE； ∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC ∵的周长为，∴BC=9cm．故选：B． 11．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 【答案】B 【详解】解：∵的角平分线、、交于点， ∴点到三角形三边的距离相等，设点到三角形三边的距离为x ； 故选：B 12.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 【答案】C 【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC， ∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°， ∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4， ∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C． 13．（24-25山西八年级期中）如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE， ∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3， ∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故选B. 14．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角的余角相等证明即可判断根据等角的补角相等先证明，再利用外角的性质即可判断；③；④根据和的关系，即可判断． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 所以，上面说法中正确的①②③， 故答案为：①②③． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由题易得平分，进而根据得到，所以，进而再根据角平分线构造全等，在上截取，证，进而得，然后利用线段的和差运算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，在上截取， 是和的角平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，角平分线、交于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， ∴的周长 ， ∴的周长为18， 故答案为：18． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的、的角平分线交于点P，过点P作，，，垂足分别为E，G，F，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，连接，，证明，得出，同理得：，， 设，则，，，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的、的角平分线交于点P， ∴平分， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得：，， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的定义和三角形的内角和为180度． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角定理得出，最后根据，即可解答； （2）根据题意，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】（1）解：为的角平分线， ， ， ， 为的高， ， ； （2）解：当时，， 当时，． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 【答案】(1)证明详见解析； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质； （1）证明即可得证； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江西宜春·期中）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． (1)请你判断与关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)垂直平分，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案； （2）根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：垂直平分，理由如下： ∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 22．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，中，，角平分线，交于点O． (1)求的度数； (2)点F在上，，请说明； (3)，，三条线段之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识， （1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可； （2）只要证明，可得，进而可证，由此可得； （3）利用（2）中结论即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ， ； （2）解：证明：∵和分别平分和， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 由（2）可知， ， ∵， ， ∴． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，在中，，是的角平分线，于点E． 【问题发现】 （1）在中，与的数量关系为 ； 【初步探究】 （2）如图1，连接，求证：是等边三角形； 【拓展延伸】 （3）如图2，点M是线段上的一点（不与点C，D重合），连接，以为一边，在的左侧作，交的延长线于点G．，与之间有怎样的数量关系？请你给出结论，并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）见详解；（3） 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据含30度角的直角三角形的性质即可解答； （2）利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”证得是等边三角形； （3）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图1所示： 在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵于点． ∴． ∴． ∴是等边三角形； （3）结论：． 证明如下： 如图所示：延长至点M，使得，连接， 是的角平分线，， ， ， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 在和中 ， ， ， ． 24．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，CD是的角平分线，点在AC上，BE交CD于点，． (1)若，如图1，求的度数； (2)若，如图2，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，对顶角性质及角平分线的计算，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． （1）由角平分线的定义可得，再由垂直可得，从而可求的度数，结合对顶角相等即可求的度数； （2）由角平分线的定义可得，再由垂直可得，从而可求的度数，再求得的度数，利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】（1）解：CD是的平分线， ． ， ． ， ； （2）解：，CD是的平分线， ，， ， ， 26．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 27．（22-23九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明． 如图，在中，D，E是边，且．求证：．    证明：如图，分别连接．设点E到的距离为，点D到的距离为， ，… 任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在中，，，求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图，分别连接．    设点E到的距离为，点D到的距离为，则， ，设点B到直线的距离为m， ∵，点C到直线的距离与点B到直线的距离相等，都等于m， ∴，∴，∴． （2）证明：∵，∴，∵，∴，∴． 28．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边(2)见解析(3) 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴，∵平分，∴，∴，∴． （3）解：∵中，是角平分线，∴ ∵，∴，∴． 29．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可． （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可； 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 根据（2）解答，得， 根据三角形内角和定理，得， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 故． 30．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 32．（24-25八年级上·上海闵行·期中）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究； （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）存在，图见解析 【分析】（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形． 【点睛】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$