专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2 【题型3 圆的切线长问题】 3 【题型4 圆的切线方程的求解】 3 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 5 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 5 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 6 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 6 【题型9 直线与圆的实际应用】 7 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式1-1】（24-25高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【变式1-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【变式3-1】（24-25高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-3】（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-3】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式6-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（     ） A．5 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 【例8】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【变式8-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【题型9 直线与圆的实际应用】 【例9】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式9-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式9-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【变式9-3】（24-25高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 3 【题型3 圆的切线长问题】 5 【题型4 圆的切线方程的求解】 7 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 9 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 11 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 13 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 15 【题型9 直线与圆的实际应用】 19 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解. 【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高二上·重庆·期末）直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【解题思路】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【解答过程】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解题思路】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】C 【解题思路】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断. 【解答过程】因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离. 故选：C. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【解答过程】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【解答过程】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【解答过程】，圆的半径为， 所以， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【解答过程】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【解答过程】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【解答过程】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【解答过程】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长． 【解答过程】圆心到直线的距离为，圆的半径， 故弦长为， 故选：C． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可. 【解答过程】由题意得圆心到直线的距离为， 故直线被圆 截得的弦长为. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据“几何法”求圆的弦长. 【解答过程】因为：圆：，所以圆心 ，圆的半径. 圆心到直线的距离：，所以. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由题计算可得直线过定点，则当时，有最小，借助垂径定理计算即可得. 【解答过程】直线可化为：，令，，则，， 所以直线过定点，设， 由圆可得圆心，半径， 则，则当时，最小， 此时. 故选：B. 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件得到点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求解. 【解答过程】由题知,是等腰直角三角形， 由及勾股定理得点到直线的距离是， 故，解得. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【解答过程】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由弦长为，可得到距离为1，据此可得答案. 【解答过程】由题可得圆圆心为，半径为2， 设到距离为d，因直线被圆所截弦长为， 则， 则. 故选：D. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【解答过程】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题设易得直线为恒过点的直线，曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），进而结合图象求解即可. 【解答过程】由，得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图， 直线为恒过点的直线， 结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时； 当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时， 综上所述，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围. 【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 在坐标平面内作出半圆及直线， 当直线与半圆相切时，且，则， 当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点， 当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点， 此时直线的纵截距在到之间， 当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点， 所以直线与曲线有公共点，. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解. 【解答过程】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 【例8】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值. （2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果. 【解答过程】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 【变式8-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【题型9 直线与圆的实际应用】 【例9】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式9-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 【变式9-3】（24-25高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【解题思路】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【解答过程】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或）. （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$