精品解析：湖南省衡阳县第四中学2025-2026学年高三上学期开学摸底检测数学卷

衡阳县四中2025-2026学年高三上学期开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可. 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 2. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 3. 已知，，的一个极值点是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再求其单调区间即可. 【详解】因为，，的一个极值点是， 所以，所以，，即. 因为，所以，. ，，解得，. 当时，得到在上单调递增，故C正确，D错误. ，解得，. 当时，得到在上单调递减，故A正确，B错误. 故选：C 4. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为，分别表达出球，圆柱的体积和表面积，求出，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项. 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的底面积为，高为， 故圆柱的体积为， 故， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 故， 故，展开式中的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 故选：C 5. 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，结合抛物线的定义分析即可得出答案. 【详解】如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），准线为x＝－1，即x＋1＝0. 过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝4，即点M到准线x＝－1的距离为4. 故选：B 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 26 C. 340 D. 420 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E， 分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 7. 在等差数列中，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 满足的的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式可求得公差，结合通项和求和公式可知AB正误；利用的二次函数性可确定CD正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：， 又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 8. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集，确定函数的零点，根据函数的零点写出函数的解析式，再利用待定系数法求函数的解析式，由导数求函数的极大值. 【详解】因为不等式的解集为， 则， 故， 又，故，， 故，则， 令，解得或， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极大值点， 的极大值为． 故选D． 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项. 【详解】是方程的两根，又， 解得， ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，，则，有， ， ，D选项正确. 故选：AD. 10. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 【答案】AB 【解析】 【分析】由回归系数，可得判定A正确；求得样本中心，代入回归方程，求得的值，可得判定B正确；令，求得，可得判定C不正确；根据题意，得出销售额的函数，结合二次函数的性质，可得判定D不正确. 【详解】对于A中，由回归方程，可得回归系数， 所以产品的销量与单价成负相关，所以A正确； 对于B中，由表格中的数据，可得， ，即样本中心为， 将代入回归直线方程，都可， 解得，所以B正确； 对于C中，由回归方程，令，可得， 即单价为50元时，估计其销量为46件，所以C不正确； 对于D中，设销售额为， 可得， 所以为了获得最大的销售额，单价应定位元，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，射击命中的次数服从二项分布，直接利用独立重复试验的概率公式求解. 【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则， 由题可知：，即， 解得. 故答案为： 13. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体中，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 14. 已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出与的公切线，再求，的值即可． 【详解】设直线与的图象相切于点,，与的图象相切于点,， 又，，． 由点,在切线上，得； 由点,在切线上，得． 故，解得， 故 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 17. 已知数列是等差数列，是等比数列，． （1）求，的通项公式； （2），，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】（1）； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； 【小问2详解】 （i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 18. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，平面，平面平面， ， 设，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面，， 又由题意知，四边形是等腰梯形，，同理， ，平面，平面， 平面，， 底面ABCD是菱形，， 平面，，∴平面， 平面，∴，则； 菱形的边长为2，，，， ，四边形是平行四边形， ∴， ∴，∴，∴，∴ ， ∵过的平面分别交，于点，∴平面， 平面，∴平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证，再证平面，即可得出，再利用勾股定理得出，则平面，即可求证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求证平面，再计算的最值即可； （3）求出两个平面的法向量，再求夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，且，以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， ， 由（1）知且平面，∴， 又在等腰梯形中，∴， ∵，平面，∴平面， ∴平面的一个法向量即为，∴， 设，∵， ∴，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 当时取最大值，此时； 【小问3详解】 设，，设平面的法向量为， ，令，， 设，，， ，，，，， 又在上，设，即， ，， ，， 设平面的法向量为， ，令，， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值 19. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2）①由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. 因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②直线OM与ON的斜率之积为. 【解析】 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【小问1详解】 因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025-2026学年高三上学期开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，的一个极值点是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 4. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. 15 D. 20 5. 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 26 C. 340 D. 420 7. 在等差数列中，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 满足的的最大值为 8. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 11. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________. 13. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 17. 已知数列是等差数列，是等比数列，． （1）求，的通项公式； （2），，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 18. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面MAC与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆C：的焦距为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $