12.1　命题、定义、定理与证明 同步练习 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章　全等三角形 12.1　命题、定义、定理与证明 1.命题 @预习导航 　　 1.命题的概念 命　　题：表示判断的语句叫做命题. 注　　意：不是所有的句子都可以称为命题，只有那些能判断是非、辨别真假的句子才称为命题. 2.命题的结构、形式 结　　构：命题由　　和　　两部分组成.　　是已知事项，　　是由已知事项推出的事项. 形　　式：命题可以写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是　　，而用“那么”开始的部分就是　　. 3.真命题与假命题 真 命 题：如果条件成立，那么结论　　，像这样的命题，叫做真命题. 假 命 题：有些命题，当条件成立时，　　保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，叫做假命题. 说　　明：(1)判断真命题，可以用演绎推理加以论证； (2)判断假命题的方法是举反例. @归类探究 　　 类型之一　把命题改写成“如果……，那么……”的形式 　把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论. (1)平行于同一直线的两条直线平行； (2)任意两个直角都相等； (3)同角的补角相等. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 【点悟】 将一个命题改写成“如果……，那么……”的形式，首先要弄清命题的条件和结论，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，然后再添加一些辅助语言，使句子通顺. 类型之二　判断命题的真假 　下列命题中，是假命题的是(　　　) A.两点之间，线段最短 B.对顶角相等 C.直角的补角仍然是直角 D.同旁内角互补 @当堂测评 　　 1.下列语句中，属于命题的是(　　　) A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C作AB的垂线 C.同旁内角不互补，两直线不平行 D.连结A、B两点 2.[2024·内江期末]下列命题是真命题的是(　　　) A.相等的角是对顶角 B.若数a、b满足a2＝b2，则a＝b C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D.垂线段最短 @分层训练 　　 1.[2024秋·眉山期末]下列命题是真命题的是(　　　) A.内错角相等 B.三角形内角和是180° C.是有理数 D.若｜a｜＝1，则a＝1 2.[2024秋·宜宾期中]对于命题“如果x为任意实数，那么＝x”，能说明它是假命题的反例是(　　　) A.x＝0 B.x＝3 C.x＝0.5 D.x＝－1 　　3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论. (1)等角的余角相等； (2)小于直角的角是锐角； (3)两点确定一条直线. 　　 　　 　　 　　 4.判断下列命题是真命题，还是假命题.如果是假命题，请举一个反例. (1)若a2＞b2，则a＞b； (2)同位角相等，两直线平行； (3)一个角的余角小于这个角； (4)一个钝角与一个锐角的和必为一个平角； (5)两直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (6)如果n是自然数，那么n2＋n＋17是质数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 5.(推理能力)[2023春·顺庆区月考]已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF，试探究： (1)如图1，∠B与∠E的数量关系是　　； 　　 (2)如图2，写出∠B与∠E的数量关系，并说明理由； 　　 　　 　　 　　 (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题. 　　 参考答案 【预习导航】 2.条件　结论　条件　结论　条件　结论 3.一定成立　不能 【归类探究】 【例1】 (1)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行. 条件是“两条直线平行于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”. (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 条件是“两个角都是直角”，结论是“这两个角相等”. (3)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 条件是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”. 【例2】 D 【当堂测评】 1.C　2.D 【分层训练】 1.B　2.D 3.(1)如果两个角相等，那么它们的余角也相等.条件是“两个角相等”，结论是“它们的余角也相等”. (2)如果一个角小于直角，那么这个角是锐角.条件是“一个角小于直角”，结论是“这个角是锐角”. (3)如果过已知两点画直线，那么能且只能画一条直线.条件是“过已知两点画直线”，结论是“能且只能画一条直线”. 4.(1)假命题.反例：a＝－3，b＝0， ∵9＞0，即a2＞b2，但是－3＜0，即a＜b. (2)真命题. (3)假命题.反例：若∠α＝20°，则∠α的余角为70°，70°＞20°，此时∠α的余角大于∠α. (4)假命题.反例：100°＋30°＝130°＜180°，此时钝角100°与锐角30°的和不为平角. (5)假命题.反例：在任意三角形中，其中两边所在直线被第三边所在直线所截，此时的同旁内角为三角形两内角，显然不互补. (6)假命题.反例：n＝17时，此数为合数. 5.(1)∠B＝∠E (2)∠B＋∠E＝180°.理由略. (3)归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章　全等三角形 12.1　命题、定义、定理与证明 2.定义、定理与证明 @预习导航 　　 1.定义、基本事实、定理与证明 定　　义：用不同的语句来说明某些名词各自所包含的　　，这样的语句叫做这些名词的定义. 基本事实：一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题视为基本事实. 定　　理：如果一个命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的　　叫做定理. 证　　明：根据　　、　　及　　、　　等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 2.证明一个命题的方法步骤 步　　骤：(1)分清命题的条件和结论，画好图形； (2)根据已知条件，结合图形写出“已知”； (3)根据结论，结合图形写出“求证”； (4)写出证明过程. @归类探究 　　 类型之一　几何证明的一般步骤 　在证明“三角形内角和等于180°”这一命题时，小彬的思路如下.请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明. 已知：如图，△ABC. 求证：　　. 证明：如图，在BC边上取点D，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F. ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2(依据：　　). ∵DF∥AC， 　　 　　 　　 　　 　　 类型之二　证明文字叙述的几何命题 　求证：如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直.(画出图形，写出已知、求证并完成证明) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 【点悟】 (1)初学几何证明时，要把依据写在每一步推理后面的括号里，这样做的目的是训练在证明推理时，每一步都要有理有据，万万不可随意推测和想当然；(2)证明中的依据一般只限于四种：①题设；②定义；③基本事实；④定理. @当堂测评 　　 1.下列语句属于定义的是(　　　) A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.等角的补角相等 D.三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有(　　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.完成下面的证明. 已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC. 求证：AD∥BC. 证明：∵AB⊥AC(已知)， ∴∠　　＝90°(　　　　). ∵∠1＝30°，∠B＝60°(已知)， ∴∠1＋∠BAC＋∠B＝　　(　　　　)， 即∠　　＋∠B＝180°， ∴AD∥BC(　　　　). @分层训练 　　 1.试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是排乱的推理过程： ①因为∠A＝∠C(已知)； ②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)； ③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)； ④所以∠B＝∠D(等量代换)； ⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换). 正确的顺序是(　　　) A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 2.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.补全下面的证明过程. 证明：∵BE平分∠ABC(　　)， ∴∠ABC＝2∠1(　　). ∵CE平分∠BCD(　　)， ∴∠BCD＝2∠2(　　). 又∵∠1＋∠2＝90°(　　)， ∴2(∠1＋∠2)＝2×90°， 即∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴AB∥CD(　　). 3.[2024春·路桥区期中]如图，已知∠1＝∠2，∠BAC＝70°，∠AGD＝110°.将证明EF∥AD的过程填写完整. 证明：∵∠BAC＝70°，∠AGD＝110°， ∴∠BAC＋∠AGD＝180°， ∴　　∥　　(　　)， ∴∠1＝　　(　　　). 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝　　(　　)， ∴EF∥AD(　　). 4.求证：四边形的内角和为360°.(画出图形，写出已知、求证并完成证明) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 5.(1)利用“两直线平行，同位角相等”证明：两直线平行，内错角相等.(画出图形，写出已知、求证并完成证明) (2)已知：如图，直线AB∥CD，∠1，∠2和∠3是直线AB、CD被直线EF所截的角. 求证：∠2＋∠3＝180°. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 6.[2024春·嘉兴桐乡市月考]如图，已知∠ABD＝100°，且BC平分∠ABD，∠1＝50°. (1)求证：AB∥CD； (2)求∠2的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 7.(推理能力)[2024春·眉山期中]如图，已知AB∥DC，AC和BD相交于点O，点E是CD上一点，点F是OD上一点，且∠1＝∠A. (1)求证：FE∥OC； 　　 　　 　　 　　 　　 (2)若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数. 　　 　　 　　 　　 参考答案 【预习导航】 1.确切意义　真命题　条件　定义　基本事实　定理 【归类探究】 【例1】 ∠A＋∠B＋∠C＝180°　两直线平行，同位角相等　补全证明略 【例2】 略 【当堂测评】 1.D　2.B　3.BAC　垂直的定义　180°　等量关系　BAD　同旁内角互补，两直线平行 【分层训练】 1.C 2.已知　角平分线的定义　已知　角平分线的定义　已知　同旁内角互补，两直线平行 3.DG　AB　同旁内角互补，两直线平行　∠3　两直线平行，内错角相等　∠3　等量代换　同位角相等，两直线平行 4.略　5.略　6.(1)略　(2)80° 7.(1)略　(2)50° 。 学科网（北京）股份有限公司 $$