第24章 圆 章末检测卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章圆章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 2．在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的半径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的边经过点且与⊙相交于点，，与⊙相切于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，为直径，，连接．若半径为3，．则的长为（   ） A． B． C． D．2 8．阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 9．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 10．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 13．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 14．如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 15．如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，若，且平分，，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 16．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位的平面直角坐标系中，点、、，是的边上一点，经平移后得到 ，点P的对应点为． (1)写出点、的坐标； (2)在图中画出绕点O逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点A运动路径的长（结果保留）． 18．如图，是的直径，于，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)作，垂足为，若，求的长． 19．如图，是的直径，C是上一点，弦于点，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线相交于点，直线交的延长线于G． (1)求证：与相切； (2)求证：四边形是平行四边形； 20．如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 21．如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． (1)求证：； (2)如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 22．对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则 ； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为 ，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第24章圆章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C D B B A C 1．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 3．C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 4．D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由切线和平行线的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形外角性质可得，即可证，得到，进而得为等边三角形，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线，点是切点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，根据切线的性质得出，根据三角形外角的性质求出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵与⊙相切， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，如图，连接，交于，求解，证明，求解，，，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于，    ∵为直径， ∴， ∵半径为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8．B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 11．17或7 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 作于E，于F，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是17或7． 故答案为：17或7． 12．90°/90度 【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 13．4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 15． 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，平行四边形的性质，直角三角形的性质． 连接，由平行四边形的性质推出是等边三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出扇形的面积，扇形的面积，的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴阴影的面积． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在线段上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点在线段上时，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图——平移变换，旋转变换，弧长公式； （1）根据点的坐标得到平移方式向右平移个单位，向上平移个单位，然后写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质做出点A，B，C的对应点，依次连接即可得到； （3）利用勾股定理求出长，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点坐标为， ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图，即为所作； （3）解：， ∴点A运动路径的长为， 故答案为：． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由得到，由直径所对的圆周角等于可得出，即，由角平分线的定义可得出，即可得到，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可推出，即可得证； （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵； （2）解：由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ，， ∴， 即的长为． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明即可完成求证． （2）利用切线的性质得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 即是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切； （2）证明：是的切线， ， 弦于点， ， 又， 四边形是平行四边形； 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，涉及到了平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是构造等边三角形，掌握相应的性质定理以及方法． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ②作于点M，作于点N，根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 22．(1)1 (2) (3)6； 【分析】（1）根据定义可知，，据此求解即可； （2）当经过点D时，，当与相切时，，据此求出即可得到答案； （3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， 当恰好经过点P时，r有最小值， ∵， ∴， 当恰好经过点Q时，r有最大值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当与相切于点E时，延长交y轴于点F，过C作于点N，连接、， 同理可得，， ∴， ∵，， ， ∴， 由切线的性质可得， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴F的横坐标为6； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接 ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，最大值为的长 ∴， ∴最大值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，两点距离计算公式，菱形的性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质等等，正确理解定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$