第21章一元一次方程 章末检测卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章一元一次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 1．下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 3．已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则（   ） A．7 B． C．10 D． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定 9．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点，，，正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（   ）    A． B． C． D． 10．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 11．方程：的根是 ． 12．已知是方程的两个实根，则的值是 ． 13．已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是 ． 14．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 15．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 16．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 17．如图，在中，，边上有一点，过点作的垂线交延长线于点．若，则 ． 18．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长． 22．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． (1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． (2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章一元一次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A C A D C A A 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 2．B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 3．C 【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由可得，可得可得出， 即对所有成立．将代入得：可得， 再判断即可． 【详解】解：由可得， ， ， ， 即对所有成立． 将代入得： ， ， ， 即对所有成立． 故选：． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判定式，由一次函数图象可得，，进而可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由一次函数图象可得，，， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 11．， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－因式分解法．利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 则或， 所以 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，进而整理出，将其代入化简求值即可． 【详解】解：根据题意，是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，当腰长为7时，是方程的一个根，当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根，据此分别求出两种情况下m的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当腰长为7时，则是方程的一个根， ∴， 解得或， 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴由根与系数的关系可得方程的根为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：4． 14．10或12 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3， ∴第三边的长， 解方程得或， ∴第三边的长为3或5， ∴该三角形的周长为或， 故答案为：10或12． 15． 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，根据m是方程的一个根，得到，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴． 故答案为：2013 16． 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设这些朋友一共人， 根据题意得，． 故答案为：. 17． 【分析】延长交于点，根据已知条件证明，进而得出，，设，则，勾股定理表示出的关系，进而根据在中，，勾股定理求得的值，根据，代入数据，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴即， 在中， ∴ ∴，， 设，则 在中， 在中， ∴，即 在中，， ∴ ∴即 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 18．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （3）方程变形得：， 配方得：，即， 解得：，； （4）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 19．元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 20．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 21． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用和矩形的面积公式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程． 设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； 【详解】解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； 22．(1) (2)①；；②元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，理解题意是解题关键． （1）设平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用日收益==总租金−-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设平均增长率为，则， ，（舍）． ∴平均增长率为； （2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车， 故答案为：；； ②， ，（舍）， ∴每辆汽车的日租金上涨70元． 23．(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$