第2章 对称图形-圆（高效培优单元测试·提升卷）数学苏科版九年级上册

第2章 对称图形——圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 2．如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，若圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作所对的圆周角，如图， 四边形为的内接四边形， ， ， ． 故选：D． 4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 5．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 则． 故选：B． 7．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 8．如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，点分别连接切点M，N，F， 设，则， 的半径为2，且与四边形的各边都相切， ，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内切圆、矩形的性质、勾股定理以及图形的面积，求不规则图形的面积问题，关键把它转化为规则图形的面积和差问题． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接， ， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 11．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 【答案】 【详解】解：∵五边形为正五边形，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：；． 12．如图，与的边相切，切点为B． 将绕点 B 按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则 °． 【答案】85 【详解】解：∵与的边相切， ∴， ∴， 连接，如图， ∵绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 13．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，， ∵点与关于MN对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是弧的中点， ， ， 又∵， ， ． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最小， 当时，即的值，此时的值最小，即的值最小， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 16．在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：作的外接圆，连接，，，，过O作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当A，O，D三点共线时，最大， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，，，，，均是上的点，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 18．（6分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 19．（8分）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 20．（8分）如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． (1)若，求的长； (2)若是的平分线，求证：直线是的切线． 【答案】(1)8 (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴． 为直径， ， ，， ∴根据勾股定理可得：， ∴的长为8． （2）解：连接，如图所示： ， 是的角平分线， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 21．（8分）如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接． ， ． ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线． （2）解：连接． ∵， ∴， ∴是的直径， 设， ，，， 则， ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ， ∴． 22．（10分）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 23．（10分）如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)52° (2) 【详解】（1）解：连接，． ∵，经过点， ∴，，且． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于点H，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． 在中 由勾股定理得：， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， ∴． 解得：． 24．（10分）已知在直角三角形中，，以为直径作，圆上一点D满足，延长与相交于点E，与相交于点F． (1)若点D为的中点，求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【详解】（1）证明：为的直径， ． ∵点D为的中点， ， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． 为的直径， ． 在和中， ． ， ． 设， 由勾股定理得，， ，， 即 解得． 为的直径， 的半径为． 25．（12分）如图，在中，以为直径的分别交，于点D，点E，的延长线与的切线交于点F，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【详解】（1）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接，   ， 设，则， ∵为的直径， ， ， ， ， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键． 26．（12分）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． (1)求证：； (2)如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 27．（12分）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． (1)如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； (2)如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）解：①证明：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 与相切； ②是的直径， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ； （2）解：如题图，连接，在上截取， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当为直径，即时，取最大值是． 【点睛】本题主要考查圆的切线判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定及性质、解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 5．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为 ． 10．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 11．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 12．如图，与的边相切，切点为B． 将绕点 B 按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则 °． 13．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 14．如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 15．如图，在中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段长度的最小值是 ． 16．在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，，，，，均是上的点，，，求证：． 18．（6分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 19．（8分）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 20．（8分）如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． (1)若，求的长； (2)若是的平分线，求证：直线是的切线． 21．（8分）如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 22．（10分）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 23．（10分）如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 24．（10分）已知在直角三角形中，，以为直径作，圆上一点D满足，延长与相交于点E，与相交于点F． (1)若点D为的中点，求证：； (2)若，求的半径． 25．（12分）如图，在中，以为直径的分别交，于点D，点E，的延长线与的切线交于点F，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（12分）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． (1)求证：； (2)如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 27．（12分）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． (1)如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； (2)如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$