专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就三角形的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：，， 点I是的内心，，平分，平分， ，，故答案为：． 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦，∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，，设，∵，∴，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去），∴设，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴的半径为，故答案为：． 例3（2025·安徽淮南·一模）如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作于点，作于点，作于点，连接、、， 是的内切圆，，，，， ，四边形是正方形，， ，， ，，整理得：，故A选项表达式正确，不符合题意； ，，， ， ，故C选项表达式正确，不符合题意； ，， 整理得：，故D选项表达式正确，不符合题意； 当时，根据等腰直角三角形的性质可知，此时， 故B选项表达式错误，符合题意；故选：B． 例4（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得， ∵，∴平分，∵是等边三角形，∴， ∴，同理可得，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是，故选：A． 例5（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形，由切线长定理可知，    ∵是的切线，∴，， ∵，，，∴，解得，∴， ∵是的内切圆，、为切点，∴，， ∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， 设内切圆的半径为，∴，∴，， ∴，解得，∴， ∴的周长为：．故选：B． 例6（2024·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 【答案】 【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示：则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1， ∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S△OO1B＝×OB×r1＝r1， S△AO1O＝×AO×r1＝r1 ∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴ 同理得：…∴依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝故答案为 例7（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径，∴，∴， ∴，，∴， ∴，∴， ∵点是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，同理可得，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，，， ∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 模型2.外接圆模型 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心，∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得，解得， 如图，点为的内心，， ∴，∴ 故选：B． 例2（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，，，，∵点是的内心，，故选：B． 例3（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知为等腰三角形，，，点I为的内心，点O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接并延长交于D，连接，． ∵点I为的内心，∴，∵，，∴， ∴，即垂直平分， ∵，，∴，∴， 设，由勾股定理得，解得，∴． 作交于H，交于J，∵点I为的内心，∴， 设，∴， 即，解得，即，∴．故选：B． 例4（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，∴，∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴，∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴，∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D，∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为，∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，，，，平分， 点是的内心，平分，与在同一条直线上，所在的直线经过点． （2）证明：连接，则，， ，，，， ，，，， ，， ，，， ，，点是的中点． 例6（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．(1)如图，连接，求证：；(2)如图，；若，求的长；若，求的值；(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；；(3)线段为定值，且． 【详解】（1）∵点是的内心，∴， ∵，∴，∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得，连接，，过点作于点， ∵点是的内心，∴，∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，，∴，∵，∴， ∵点是的内心，∴，∴， ∴， ，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴∴， 同理，，，但，随着点的运动而变化，∴线段为定值，且． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴，设， 在中，∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，故选D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴，∴四边形是正方形，∴， ∵是的切线，∴， ∵，，，∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴，∴，∴， ∴的周长．故选：B． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设、、分别与相切于点、、，、分别与相切于、，连接、、、、、、， 则，，，，，，，， ，平分，同理，平分，、、三点共线， 是等边三角形，，， ，， ，， 在中，，， ，， ，，得：， 如图，过点作，交的延长线于，则， ∴四边形是矩形，， ，， 在中，， ，．故选：D． 4．（2024·广东·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】如图，过点I作，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心，∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，设， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴．故选：B 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法不正确的是（   ） A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【详解】解：圆是的内切圆，点是三个内角平分线的交点， 由尺规作图可知，射线是的平分线， 射线一定过点，故选项说法正确，不符合题意； 点是三边垂直平分线的交点，故选项说法错误，符合题意；选项说法正确，不符合题意； 是等边三角形，点、分别为、的中点，是的中位线， ，故C选项说法正确，不符合题意．故选：B． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连结，∵，，∴， ∴，∴， ∵点是的内心，∴平分，∴．故选： C． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心，，， ，，， ，，，∴， ∵，， ∵，，， ，，即点为的中点， ，是的中位线，，故选：C． 8．（24-25·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ 　） A．125° B．120° C．130° D．115° 【答案】A 【详解】连接OB，OC．∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-55°=125°．故选A． 9．（24-25·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，，，，． 根据题意可知，且，，， ∵， 即，解得．设， 则，，， 得，解得，∴． 在中，， ∵，∴是的垂直平分线，∴． ∵，即， 解得，∴．故选：A． 10．（24-25·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接AC，作于F，AC与BD、DF交于点E、G， 垂直平分BD， ，是等边三角形，是等腰直角三角形 是的外心，是的外心， 在中， 在中， 故外心与外心的距离是5 故选：A． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，，∴， ，∵为斜边上的中线， ∴，∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴，解得， 同理可得，，解得，∴，故选：C． 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知正三角形的周长为，那么它的内切圆的半径为 ． 【答案】/ 【详解】解： 为等边三角形的内切圆，连接，如图， ∵正三角形的周长为，∴，， 在中，，则，故答案为：． 13．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，点C在上，直径，，垂足为D，点E是的内心，，点F在线段上，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接、、、，作于M，于H，于G，于N，∵为直径，∴，∴， ， ∴，，∴， ∴，∴， ∵点E是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，同理可得，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，，∴四边形为矩形，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【答案】 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，，由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∴，∴，解得：，∴．故答案为： 16．（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴连接则 ∴,过点作于点E，F，∴ ∵, ∴∴∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 17．（24-25·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 【答案】5cm 【详解】解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC， ∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圆的圆心在AD上， 连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD= =8， 在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5， 即△ABC的外接圆的半径为5； 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵，，，∴，∴，∴平分， ∵点I是的内心，∴平分，∴与在同一条直线上，∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴点D是的中点． 19．（2024·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分，， ，，． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心，平分，平分， ，又，， ，，，． （3）证明：如图，连接，，， ，．，∴点D是的外心． 20．（24-25浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形． （1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)； （3）用文字叙述上面证明的结论： ； （4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长． 【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6 【详解】（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H， ∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案为：＝． （2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD＋BC＝AB＋CD， 证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH， ∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圆外切四边形的对边和相等． （3）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等． 故答案为：圆外切四边形的对边和相等； （4）∵相邻的三条边的比为2：5：6，∴设此三边为2x，5x，6x， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x， ∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2， ∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6． 即此四边形各边的长为：4，10，12，6． 21．（2024·山东烟台·一模）【初步发现】如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积． 解：设线段的长为x，根据切线长定理，得，，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得，所以 请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，． （1）若，求证：的面积等于；（2）若，求证：． 【拓展延伸】（3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】设，根据题意，．（1）由题意得，， 在中，根据勾股定理，得，整理，得， 所以； （2）由，得，整理，得， ∴． 根据勾股定理逆定理可得； （3）过点A作于点G． 在中，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得，整理，得， ∴． 22．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？（不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】(1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】(2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心．①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；②的最大值为______． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ，平分为的内心 （2）解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心，，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求，如图： ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接是的内心 是的直径， 的半径长为5，，， 的最大值为故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就三角形的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 例3（2025·安徽淮南·一模）如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 例5（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 例6（2024·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 例7（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 模型2.外接圆模型 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知为等腰三角形，，，点I为的内心，点O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 例4（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 例6（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．(1)如图，连接，求证：；(2)如图，；若，求的长；若，求的值；(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法不正确的是（   ） A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 8．（24-25·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ 　） A．125° B．120° C．130° D．115° 9．（24-25·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（    ） A．5 B． C． D． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知正三角形的周长为，那么它的内切圆的半径为 ． 13．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，点C在上，直径，，垂足为D，点E是的内心，，点F在线段上，，则 ． 14．（24-25九年级上·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 16．（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 17．（24-25·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 19．（2024·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 20．（24-25浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形． （1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)； （3）用文字叙述上面证明的结论： ； （4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长． 21．（2024·山东烟台·一模）【初步发现】如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积． 解：设线段的长为x，根据切线长定理，得，，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得，所以 请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，． （1）若，求证：的面积等于；（2）若，求证：． 【拓展延伸】（3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积． 22．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？（不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】(1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】(2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心．①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；②的最大值为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$