11.5　因式分解 学案 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第11章　整式的乘除 11.5　因式分解 第3课时　利用完全平方公式分解因式 @预习导航 　　 1.利用完全平方公式分解因式 公　　式：a2±2ab＋b2＝　　. 语言表述：两个数的　　加上(或减去)这两个数的积的　　，等于这两个数的　　的平方. 公式特征：(1)左边是三项式，其中有两项分别是两数(或两个式子)的平方，且这两项的符号相同，第三项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负都可以； (2)右边是这两个数(或这两个式子)的和(或差)的平方. 2.因式分解的一般方法和步骤 步　　骤：(1)若有公因式，应先提取公因式； (2)若多项式是两项，可尝试用平方差公式； (3)若是三项式，可考虑用完全平方公式； (4)分解到每一个多项式的因式不能再分解为止. @归类探究 　　 类型之一　运用完全平方公式分解因式 　分解因式： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2. 　　 　　 　　 　　　把下列多项式分解因式： (1)a2b＋2ab＋b； (2)－a3＋a2b－ab2； (3)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1； (4)(x＋y)2－6x2＋6y2＋9(x－y)2. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　类型之二　利用完全平方公式求值 　已知x2＋y2＋2x－6y＋10＝0，求x＋y的值. 　　 　　 　　 @当堂测评 　　 1.下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是(　　　) A.x2＋1 B.x2＋2x＋4 C.x2－2x＋1 D.x2＋x＋1 2.在横线上填上适当的因式： (1)25x2＋10x＋1＝　　； (2)x2＋4x＋　　＝(x＋　　)2； (3)4m2±　　＋9n2＝(　　　　)2. 3.分解因式： (1)[2024·兰州]a2－2a＋1＝　　； (2)x2－4xy＋4y2＝　　； (3)(a＋1)2－4a＝　　； (4)[2024·威海](x＋2)(x＋4)＋1＝　　. @分层训练 　　 1.把多项式2x3－4x2＋2x分解因式，其结果是(　　　) A.2x(x－1)2 B.2x(x＋1)2 C.x(2x－1)2 D.x(2x＋1)2 2.把2x2－2x＋分解因式，其结果是(　　　) A.2(x－)2 B.(x－)2 C.(x－1)2 D.(2x－)2 3.分解因式： (1)[2024·达州]3x2－18x＋27＝　　； (2)[2024·内蒙古]a＋2ab＋ab2＝　　； (3)[2024·通辽]3ax2－6axy＋3ay2＝　　. 4.分解因式： (1)x3－2x2y＋xy2； (2)－2a3＋12a2－18a； (3)m2－2mn＋3n2； (4)4x2－4x＋1－y2. 　　 　　 　　 　　 　　 5.已知4x2－x＋m是一个两数和或差的平方式，则m＝　　. 6.分解因式： (1)9(x＋2)2＋25(x－3)2－30(x＋2)·(x－3)； (2)(a2＋b2)2－4a2b2； (3)(x＋y)2－4(x＋y－1). 　　 　　 　　 　　 　　 　　 7.(推理能力)有一系列等式： 1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2； 2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2； 3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2； 4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2； …… (1)根据你观察、归纳、发现的规律，计算：8×9×10×11＋1＝　　； (2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予以证明. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 【预习导航】 1.(a±b)2　平方和　2倍　和(或差) 【归类探究】 【例1】 (1)(x－6y)2　(2)(4a2＋3b2)2 (3)－(x＋y)2 【例2】 (1)b(a＋1)2　(2)－a(a－b)2 (3)(x－1)4　(4)4(x－2y)2 【例3】 2 【当堂测评】 1.C　2.(1)(5x＋1)2　(2)4　2　(3)12mn　2m±3n 3.(1)(a－1)2　(2)(x－2y)2　(3)(a－1)2　(4)(x＋3)2 【分层训练】 1.A　2.A　3.(1)3(x－3)2　(2)a(b＋1)2　(3)3a(x－y)2 4.(1)x(x－y)2　(2)－2a(a－3)2 (3)(m－3n)2　(4)(2x－1＋y)(2x－1－y) 5. 6.(1)(21－2x)2　(2)(a＋b)2(a－b)2 (3)(x＋y－2)2 7.(1)892 (2)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.理由略. 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章　整式的乘除 11.5　因式分解 第1课时　提公因式法 @预习导航 　　 1.因式分解的概念 因式分解：把一个多项式化为几个　　的形式，叫做多项式的因式分解. 注　　意：(1)因式分解的结果要以积的形式表示，且积中每个因式都必须是整式； (2)因式分解必须分解到每个多项式都不能　　为止. 明　　确：整式乘法与因式分解的关系是多项式整式的积. 2.提公因式法 公因式：多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，称之为公因式. 提公因式法：把多项式ma＋mb＋mc中的　　提出来使之分解成两个因式m和(a＋b＋c)的　　，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. @归类探究 　　 类型之一　因式分解的概念 　下列因式分解正确的是(　　　) A.－a＋a3＝－a(1＋a2) B.2a－4b＋2＝2(a－2b) C.a2－4＝(a－2)2 D.a2－2a＋1＝(a－1)2 　若关于x的三项式x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c＝　　. 　　类型之二　用提公因式法进行分解因式 　分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)(x＋3y)2－(x＋3y). 　　 　　 　　 　　类型之三　利用提公因式法简便运算 　利用因式分解计算： 23×3.14＋56×3.14＋21×3.14. 　　 　　 　　 @当堂测评 　　 1.[2024春·眉山期中]下列从左到右的变形是因式分解的是(　　　) A.2a2－b2＝(a＋b)(a－b)＋a2 B.2a(b＋c)＝2ab＋2ac C.x3－2x2＋x＝x(x－1)2 D.x2＋x＝x2 2.(1)[2023·永州]2a2与4ab的公因式为　　； (2)多项式2x2y－6xy2的公因式是　　； (3)多项式8a3b2＋12a3bc－4a2b的公因式是 . 3.分解因式： (1)[2024·遂宁]ab＋4a＝　　； (2)[2024·内江]m2－5m＝　　； (3)[2024·陕西]a2－ab＝　　. @分层训练 　　 1.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)·(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是(　　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 2.[2024春·宜宾月考]把多项式m2(a－2)＋m(2－a)分解因式等于(　　　) A.(a－2)(m2＋m) B.(a－2)(m2－m) C.m(a－2)(m－1) D.m(a－2)(m＋1) 3.(1)[2024·福建]x2＋x＝　　； (2)[2024·江西]a2＋2a＝　　； (3)[2024·吉林]a2－3a＝　　； (4)[2024·枣庄]x2y＋2xy＝　　； (5)x(y－1)＋4(1－y)＝　　. 4.分解因式： (1)9m2＋18mn－27mn2； (2)2(a－b)－a(b－a)； (3)(x－3y)(a＋b)－(3x－y)(a＋b). 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 5.[2023·巴中]若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为(　　　) A.5 B.7 C.10 D.－13 　　 6.一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b＋ab2的值为(　　　) A.25 B.50 C.75 D.100 7.[2023·凉山州]已知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2027的值等于　　. 　　 8.利用因式分解计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.26＋72×20.26＋13×20.26－20.26×14. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 9.(运算能力)认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题. 1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (1)上述分解因式的方法是　　； (2)分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3； (3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n分解因式的结果是 . 　　 　　 　　 　　 参考答案 【预习导航】 1.整式的积　再分解 2.公因式m　乘积 【归类探究】 【例1】 D 【例2】 2 【例3】 (1)4ab2(2a2＋3bc) (2)(x＋3y)(x＋3y－1) 【例4】 314 【当堂测评】 1.C　2.(1)2a　(2)2xy　(3)4a2b 3.(1)a(b＋4)　(2)m(m－5)　(3)a(a－b) 【分层训练】 1.C　2.C　3.(1)x(x＋1)　(2)a(a＋2)　(3)a(a－3)　(4)xy(x＋2)　(5)(y－1)(x－4) 4.(1)9m(m＋2n－3n2)　(2)(a－b)(2＋a) (3)－2(a＋b)(x＋y) 5.B　6.A　7.2023 8.(1)260　(2)2026 9.(1)提公因式法　(2)(1＋x)4 (3)(1＋x)n＋1 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章　整式的乘除 11.5　因式分解 第2课时　利用平方差公式分解因式 @预习导航 　　 1.公式法因式分解的概念 公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行　　，这种因式分解的方法称为公式法. 2.利用平方差公式分解因式 公　　式：a2－b2＝　　. 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的　　与这两个数的　　的积. 注　　意：利用公式法因式分解的关键是掌握公式的特征. 公式特征：(1)对于二项式的因式分解，可考虑平方差公式； (2)构成二项式的两项必须异号； (3)异号的两项在不考虑符号时，均可以写成一个数或式子的　　的形式； (4)右边是两数　　与两数　　的积的形式，要注意符号，原来是被减数的，分解后仍是被减数，如－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)，而不能写成－a2＋b2＝(a＋b)(a－b). @归类探究 　　 类型之一　利用平方差公式分解因式 　把下列多项式分解因式： (1)25x2y2－1＝　　； (2)－a2＋b2＝　　； (3)9(m＋n)2－(m－n)2＝　　； (4)4x3－16x＝　　. 　　类型之二　利用平方差公式分解因式的应用 　若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝　　. 　利用因式分解计算： (1)492－482； (2)(39)2－(10)2. 　　 　　 　　 　　　如图是一块边长为acm的正方形纸板，在正中央剪去一个边长为bcm的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积. 　　 　　 　　 　　 　　 @当堂测评 　　 1.下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是(　　　) A.－x2＋y2 B.4a2－(a＋b)2 C.a2－8b2 D.x2y2－1 2.分解因式：1－4y2＝(　　　) A.(1－2y)(1＋2y) B.(2－y)(2＋y) C.(1－2y)(2＋y) D.(2－y)(1＋2y) 3.分解因式： (1)[2023·宁波]x2－y2＝　　； (2)[2023·丽水]x2－9＝　　； (3)4a2－9＝　　. 4.[2023·嘉兴、舟山]一个多项式，把它因式分解后其中一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：　　. @分层训练 　　 1.[2024·云南]分解因式：a3－9a＝(　　　) A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) 2.分解因式： (1)[2024·甘肃]2x2－8＝　　； (2)[2024·北京]x3－25x＝　　； (3)[2024·绥化]2mx2－8my2＝　　； (4)[2024·齐齐哈尔]2a3－8ab2＝　　. 3.计算： (1)49.62－50.42＝　　； (2)13.32－11.72＝　　. 4.分解因式： (1)16x2－64； (2)a2(x－y)－b2(x－y)； (3)(y＋2x)2－(x＋2y)2. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　5.某学校打算在操场的圆环形跑道上铺塑胶路面.已知跑道外圆半径R＝30.5m，内圆半径r＝24.5m，请你帮助学校计算出需要铺塑胶的总面积.(π取3.14) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 6.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美.现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　　) A.我爱游 B.中华美 C.我爱中华 D.美我中华 7.[2024秋·嘉定期中]定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且m－n＝2，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当m＝3，n＝1时，8＝32－12，8是一个智慧优数.若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 . 　　 8.因式分解： (1)p4－1； (2)(x－2y)2－4x2； (3)(4a＋b)2－4(a＋b)2； (4)9(x＋y)2－4(x－y)2. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 9.(创新意识)[2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…… (1)写出192－172的结果； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)； (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 【预习导航】 1.因式分解　2.(a＋b)(a－b)　和　差　平方　和　差 【归类探究】 【例1】 (1)(5xy＋1)(5xy－1) (2)(b＋a)(b－a) (3)4(2m＋n)·(m＋2n) (4)4x(x＋2)(x－2) 【例2】 2 【例3】 (1)97　(2)1450 【例4】 阴影部分的面积为25cm2. 【当堂测评】 1.C　2.A　3.(1)(x＋y)(x－y)　(2)(x＋3)·(x－3)　(3)(2a＋3)(2a－3) 4.x2－1(答案不唯一) 【分层训练】 1.A　2.(1)2(x＋2)(x－2)　(2)x(x＋5)·(x－5)　(3)2m(x＋2y)(x－2y)　(4)2a(a＋2b)·(a－2b) 3.(1)－80　(2)40 4.(1)16(x＋2)(x－2) (2)(x－y)(a＋b)(a－b) (3)3(x＋y)(x－y) 5.需要铺塑胶的总面积约为1036.2m2. 6.C 7.8100 8.(1)(p2＋1)(p＋1)(p－1) (2)－(3x－2y)(x＋2y) (3)3(2a＋b)(2a－b) (4)(5x＋y)(x＋5y) 9.(1)192－172＝8×9. (2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n. (3)略 。 学科网（北京）股份有限公司 $$