精品解析：内蒙古包头市第九中学分校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

包九中外国语学校七年级数学学科调研卷 一、选择题（每题3分，10题共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. a6÷a3＝a2 B. （a2）3＝a5 C. （﹣2a2）3＝﹣8a6 D. （2a＋1）2＝4a2＋2a＋1 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知：，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一个长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，它的长为2a，则宽为（ ） A. 2a﹣3b B. 4a﹣6b C. 2a﹣3b+1 D. 4a﹣6b+2 9. 如图，点在同一直线上，，若，则图中互余的角共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 10. 如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，6题共18分） 11. 一个角的余角比它的补角的多，则这个角为__________． 12. 如果是一个完全平方式，那么m的值为 ________． 13. 已知，，则___． 14. 若，，则______． 15. 已知2x+y＝2，2x﹣y＝﹣4，则4x2﹣y2＝_____． 16. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 三、解答题（6题，共52分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4）（运用乘法公式） 18. 先化简，再求值：， 其中，． 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 20. 如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 21. 如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． （1）若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； （2）当时，求所需彩纸的面积． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ， （2）由（1）可得到一个等量关系式： （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校七年级数学学科调研卷 一、选择题（每题3分，10题共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. a6÷a3＝a2 B. （a2）3＝a5 C. （﹣2a2）3＝﹣8a6 D. （2a＋1）2＝4a2＋2a＋1 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A. a6÷a3=a3，故选项A不合题意； B.（a2）3=a6，故选项B不合题意； C.（-2a2b）3=-8a6b3，正确，故选项C符合题意； D.（2a+1）2=4a2+4a+1，故选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂相乘，逆用积的乘方法则和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 5. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特点逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A，，不可用平方差公式计算； B，，不可用平方差公式计算； C，，可用平方差公式计算； D，不可用平方差公式计算； 故选C． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点，即． 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将展开化简，再根据已知条件变形得到的值，最后代入化简后的式子计算．本题主要考查了多项式乘法的展开以及整体代入思想，熟练掌握多项式乘多项式法则并能根据已知条件进行整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ∴, ∴，即， 故选：C ． 7. 已知：，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，求出、、的值，再比较即可． 【详解】解：，，， ． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂．掌握各运算法则是解题关键． 8. 一个长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，它的长为2a，则宽为（ ） A. 2a﹣3b B. 4a﹣6b C. 2a﹣3b+1 D. 4a﹣6b+2 【答案】C 【解析】 【分析】因为长方形面积=长×宽，面积、长已知，可得宽=面积÷长，也即（4a2﹣6ab+2a）÷2a，再依照法则计算即可． 【详解】解：∵长方形面积=长×宽，面积、长已知， ∴宽=面积÷长， 即：（4a2﹣6ab+2a）÷2a=2a﹣3b+1． 故选C． 【点睛】本题考查整式的除法．掌握长方形的面积公式是解题的关键. 9. 如图，点在同一直线上，，若，则图中互余的角共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据互为余角的两个角的和等于和等角的余角相等解答． 【详解】解：，， ， ∴，， ， ，， 互余的角共有4对． 故选：C． 10. 如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义，利用垂直的定义得出，再根据角平分线的定义得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵射线平分，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，6题共18分） 11. 一个角的余角比它的补角的多，则这个角为__________． 【答案】27°##27度 【解析】 【分析】设这个角为x，则它的余角为90°－x，补角为180°－x，依据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角为x°，则它的余角为90°－x，补角为180°－x， 由题可得：90－x＝（180－x）＋12 90－x＝60－x＋12 90－60－12＝x－x 18＝x x＝27 即这个角为27°． 故答案为：27°． 【点睛】此题主要考查了角度的计算，解题关键是依据题意列出方程． 12. 如果是一个完全平方式，那么m的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解． 利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知为二倍底数乘积，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 13. 已知，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，由，，则，，然后即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得，， ∴， 故答案为：． 15. 已知2x+y＝2，2x﹣y＝﹣4，则4x2﹣y2＝_____． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】∵2x+y＝2，2x﹣y＝﹣4， ∴4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题主要考查代数式的值，掌握平方差公式，是解题的关键． 16. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 三、解答题（6题，共52分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4）（运用乘法公式） 【答案】（1） （2） （3） （4）1 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）原式先进行幂的运算，再合并即可； （3）根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则将括号展开合并即可； （4）先变形，然后根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：， 其中，． 【答案】，40 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后再将、代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的运算，整式混合运算中无关项的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可； （2）根据多项式乘以多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴原式； （2）多项式与的积不含项和项， ∴ ， ∴， 解得，． 20. 如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据平行线的判定可得，再证出，根据平行线的判定可得，然后根据平行公理推论即可得证． 【详解】略 21. 如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． （1）若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； （2）当时，求所需彩纸的面积． 【答案】（1） （2）所需彩纸的面积为 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把a与b的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 【小问2详解】 解：当时， 所以，所需彩纸的面积为． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ， （2）由（1）可得到一个等量关系式： （3）若，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）15 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示阴影部分的面积即可； （2）由（1）中两个方法所表示的部分的面积相等可得答案； （3）利用完全平方公式求出的值，再利用（2）的结论进行计算即可． 【小问1详解】 解：图4中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图4中阴影部分的面积可以看作边长是的大正方形面积减去图3的面积，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）中两种方法所表示的阴影部分的面积相等可得，； 【小问3详解】 解：∵，， 而，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $