第35讲 二元一次方程组(1)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

124 初中数学新思维  七年级 【知识要点】 1. 方程都含有两个未知数 ( x 和 y )，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数 的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程 . 2. 解二元一次方程组的方法：( 1 ) 代入消元法；( 2 ) 加减消元法 . 【例题展示】 例题 1  已知 x = -2，y = -3 和 x = 4，y = 1 是二元一次方程 mx - 3ny = 5 的两 个解，求 m，n 的值 . 例题 2  甲、乙两人同时解方程组  2 13 2 mx y x ny− = + = 5 1 （ ） （ ） ，甲解题看错了 ( 1 ) 中 的 m，解得     x y = = − 7 2 2 ， ， 乙解题时看错 ( 2 ) 中的 n，解得   x y = = − 3 ， 7 ， 试求原方程组的解 . 第35讲 二元一次方程组（1） 125 例题 3  已知关于 x、y 的方程组  3 4 2 1 2 3 x y k x y k + = + + = ， 的解满足等式 x + y = 3，求 k 的值 . 例题 4  已知实数 a，b 满足 (2 1) 1 0a a b+ + + + =2 ，且关于 x，y 的方程组   2 1 ax by m ax by m + = − = + ， 的解 x < 0，y > 0，求 m 的取值范围 . 例题 5  已知方程组   2 5 6 ax by x y+ = − − = −4 ， 与方程组   3 5 16 bx ay x y− = + = −8 ， 的解相同．求 (2 )a b+ 2022 的值． 【随堂练习】 1. 已知当 x = 3，y = 5 与 x = -4，y = -9 都是方程 y = kx + b 的解，当 x = 7 2 时， y 的值是多少？ 第 35 讲  二元一次方程组（1） 126 初中数学新思维  七年级 2. 小红和小凤两人在解关于 x、y 的方程组  bx y ax y + = + =3 5 1 2 8 2 （ ） （ ） 时，小红只因看 错了系数 a，得到方程组的解为   x y = − = 2 1 ；小凤只因看错了系数 b，得到方程组的解 为   y x = = 1 4 . 求 a、b 的值和原方程组的解 . 3. 若关于 x、y 的方程组   x y k x y k + = − = 5 9 ， 的解满足 2x + 3y = 6，求 k 的值 . 4. 若关于 x、y 的二元一次方程组   2 3 2 x y x y m + = + = − 2 4 ， 的解满足 x + y < 5，求出满 足条件的 m 的所有非负整数解 . 5. 当 a 为何值时，方程组   3 5 2 2 7 18 x y a x y a − = + = − ， 的解 x、y 互为相反数？并求出方程 组的解 . 194 初中数学新思维  七年级 4. 解析：( 1 ) 设另一个因式为 ( 2x + m ) ， ( x + 4 ) ( 2x + m ) = 2 ( 8) 4x m x m2 + + + ， 所以 m + 8 = 3，m = -5，k = -4m = -4×( -5 ) = 20 . ( 2 ) 用待定系数法：设原式 = ( ) ( )x ky m x y n+ + + + ， 原式 = x k xy ky m n x nk m y mn2 2+ + + + + + + +(1 ) ( ) ( ) ，由题意得 1 + k = -2，m + n = 3，nk + m = -5，解得 k = -3，m = 1，n = 2，所以原式 = ( 3 1) ( 2)x y x y− + + + . 5. 解析：证明：由 − + −2 12 18x x x4 3 2 得 − + − = − − + = − −2 12 18 2 ( 6 9) 2 ( 3)x x x x x x x x4 3 2 2 2 2 2 ，因为 x2 ≥ 0 ， ( 3) 0x − ≥2 ， 所以 x x2 2( 3) 0− ≥ ，所以 − −2 ( 3)x x2 2恒小于等于 0，即非正数，所以不可能是正数 . 【第 35讲】 1. 解析：将 x = 3，y = 5 与 x = -4，y = -9，代入方程得   5 3 − = − +9 4 = +k b k b ， 解得 k = 2，b = -1，原方程是 y = 2x - 1，将 x = 7 2 代入得 y = 6 . 2. 解析：小红看错了 a，算式 ( 2 ) 没有看错，所以 x = -1，y = 2，满足算式 ( 2 )， b× ( -1 ) + 2×2 = 8，解得b = -4 .同理小凤只因看错了系数b，算式 ( 1 )没有看错， x = 1，y = 4，满足 ( 1 )，a×1 + 3×4 = 5，a = -7 . 原来方程组为   − + = − + = 7 3 5 4 2 8 x y x y ， ， 解得 x = 7，y = 18 . 3. 解析：把 k 当作已知数，解二元一次方程组得 x = 7k，y = -2k . 把 x = 7k，y = -2k 代入 2x + 3y = 6 得 2×7k + 3× ( -2k ) = 6，解得 k = 4 3 . 4. 解析：将 m 当作已知数，表示出 x，y，解得      x m y m = − = − + 2 8 3 10 3 ， 因为 x + y < 5， 所以 2 5m m− − + <8 10 3 3 ，解得 m < 13 3 . 因为 m 取非负整数，所以 m 取 0，1，2，3，4 . 5. 解析：由题意得 x + y = 0，即 x = -y . 把 x = -y 代入第一个方程得 y a= − 1 4 ， x a= 1 4 . 195 随堂练习参考答案 将 x、y 代入第二个方程得 2 7 18× + × − = −1 1 4 4 a a a     ，解得 a = 8 . 将 a = 8 代入 y a= − 1 4 ， x a= 1 4 ，解得 x = 2，y = -2 . 【第 36讲】 1. 解析：( 1 ) 用第一个算式减去第二个算式得 2x - 2y = 2，即 x - y = 1， 所以 x = 1 + y . 将 x = 1 + y 代入第一个方程中可得 2010× ( 1 + y ) -2009y = 2008， 解得 y = -2，x = -1 . ( 2 ) 利用换元法：设 x y+ 1 = m ， x y− 1 = n ， 原式得     3 2 2 3 2 m n m n − = + = 6 5 ， 解得      m n = = 1 3 1 2 . ， 所以 x y+ 1 1 = 2 ， x y− 1 1 = 3 ，所以 x + y = 2，x - y = 3，解得      y x = − = 2 5 1 2 ， . 2. 解析：由题意得，无数多个解，说明方程①与方程②是同一个方程 . 方程①等 号两边同时乘 2，得 4x + 2ay = 6，2a = 6，2 - m = 6，解得 a = 3，m = -4 . 3. 解析：把 m 当作已知数，用 m 的代数式表示出 x，y      x y = − = 1 m 2 − m 8 8 −8 ， 当 m = 6 时，x = 5，y = -1；当 m = 7 时，x = 9，y = -2；当 m = 9 时，x = -7，y = 2； 当 m = 10 时，x = -3，y = 1 . 4. 解析：整理原式得 ( a + 3b ) x - 3a + b = 5x + 5， 因为有无穷多个解，所以  − + = a b 3 5 + = a b 3 5 ， 解得   a b = − = 2 1 . ， 5. 解析：方程 2x + y + 3z = 23 两边乘 2 得 4x + 2y + 6z = 46 ③，方程③减去方程 x + 4y + 5z = 36，得 3x- 2y + z = 10 .