第34讲 因式分解-【初中数学新思维】七年级全国通用版

121 【知识要点】 1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式 的因式分解 . 2. 常见因式分解的方法：( 1 ) 提公因式法；( 2 ) 公式法；( 3 ) 分组分解法； ( 4 ) 十字相乘法；( 5 ) 换元法；( 6 ) 待定系数法；( 7 ) 添项、拆项法 . 【例题展示】 例题 1  利用换元法，因式分解 . ( 1 ) ( 1)( 2)( 3)( 6)x x x x x+ + + + + 2 ； ( 2 ) ( ) 4 ( )x xy y xy x y2 2 2 2 2+ + − + . 例题 2  利用添项、拆项法，因式分解 . ( 1 ) x x3 2− +3 4 ； ( 2 ) x x x9 6 3+ + − 3 . 第34讲 因式分解 第 34 讲  因式分解 122 初中数学新思维  七年级 例题 3  利用待定系数法，因式分解 . ( 1 ) x xy y x y2 2+ + + + +3 2 4 5 3 ； ( 2 ) x xy y x y2 2+ − + + −6 13 6 . 例题 4  ( 1 ) 当 m 为何值时，多项式 x y mx y2 2− + + −5 6 能分解因式？并分解 此多项式 . ( 2 ) 已知 x xy y x y p2 2− − + − +2 3 6 14 能分解成两个一次因式之积，求常数 p， 并且分解因式 . 例题 5  已知 n 为正整数，试证明 ( 5) ( 1)n n+ − −2 2 的值一定能被 12 整除 . 【随堂练习】 1. 因式分解 ( 换元法 ) . ( 1 ) ( 1)( 2)(2 3)(2 1) 2x x x x+ + + + − ； ( 2 ) ( 1) ( 5) 4( 3)a a a2 2 2 2 2 2+ + + − + . 123 2. 因式分解 ( 拆项、添项法 ) . ( 1 ) x x3 − +9 8 ； ( 2 ) x x4 2− +7 1 . 3. 因式分解 ( 待定系数法 ) . ( 1 ) x xy y x y2 2− − + + −3 10 9 2 ； ( 2 ) x xy y x y2 2+ + + + +3 2 5 7 6 . 4.( 1 ) 已知关于 x 的多项式 2 3x x k2 + − 有一个因式是 ( x + 4 )，求另一个因式以 及 k 的值 . ( 2 ) 当 k 为何值时， x xy ky x y2 2− + + − +2 3 5 2 能分解成两个一次因式的 乘积？并分解此多项式 . 5. 求证：不论 x 取什么有理数，多项式 − + −2 12 18x x x4 3 2 的值都不会是正数 . 第 34 讲  因式分解 随堂练习参考答案 因为a是正整数，所以m,n均为正整数，所以得到n=18,m=16, 所以a=256-100=156 5.解析：由3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2得 3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a=b=c,三角形是等边三角形. 6.解析：x2+y2+6x-4y+15=x2+6x+9+y2-4y+4+2配方得 (x+3)2+(y-2)+2,所以不管x,y取何值，都有(x+3)2+(y-2)2+2≥2. 【第34讲】 1.解析：(1)(x+1)(x+2)(2x+3)(2x+1)-2 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-2 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-2. 设2x2+5x+2=1,原式=(t+1)×t-2=t2+1-2=(t+2)(t-1), 将2x2+5x+2=1代入得原式=(2x2+5x+4)(2x2+5x+1). (2)设a2+1=1,原式=t2+(t+4)2-4(t+2)2=-22-8t=-21(t+4). 将a2+1=t,代入得：原式=-2(a2+1)(a2+5). 2.解析：(1)x3-9x+8=x3-x-8x+8=x(x2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)- 8(x-1)=(x-1)(x2+x-8). (2)x4-7x2+1=x4+2x2+1-9x2=(x2+1)2-9x2=(x2+3x+1)(x2-3x+1). 3.解析：(1)因为x2-3xy-10y2=(x-5y)(x+2y),所以原式可以设为 (x-5y+m)(x+2y+n), 化简得x2-3xy-10y2+(m+n)x+(2m-5n)y+mn, 所以m+n=1,2m-5n=9,解得m=2,n=-1,原式=(x-5y+2)(x+2y-1). (2)因为x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y),原式设为(x+2y+m)(x+y+n), 化简得x2+3xy+2y2+(m+n)x+(2n+m)y+mn, 所以m+n=5,21+m=7,解得m=3,n=2.原式=(x+2y+3)(x+y+2) 193 初中数学新思维七年级 4.解析：(1)设另一个因式为(2x+m),(x+4)(2x+m)=2x2+(m+8)x+4m, 所以m+8=3,m=-5,k=-4m=-4×(-5)=20. (2)用待定系数法：设原式=(x+y+m)(+y+), 原式=x2+(1+k)xy+2+(m+m)x+(nk+m)y+mn,由题意得1+k=-2,m+ n=3,nk+m=-5,解得k=-3,m=1,n=2,所以原式=(x-3y+1)(x+y+2). 5.解析：证明：由-2x4+12x3-18x2得 -2x+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2,因为x2≥0，(x-3)2≥0， 所以x2(x-3)2≥0，所以-2x2(x-3)恒小于等于0，即非正数，所以不可能是正数 【第35讲】 1.解析：将x=3,y=5与x=-4,y=-9,代入方程得 5=3k+b, 解得 -9=-4k+b k=2,b=-1,原方程是y=2x-1,将x=?代入得y=6. 2.解析：小红看错了a,算式(2)没有看错，所以x=-1,y=2,满足算式(2)， b×(-1)+2×2=8,解得b=-4.同理小凤只因看错了系数b,算式(1)没有看错， x=1,y=4,满足(1)，a×1+3×4=5,a=-7.原来方程组为 -7x+3y=5, -4x+2y=8, 解得x=7,y=18 3.解析：把k当作已知数，解二元一次方程组得x=7k,y=-2k 把x=7k,y=-2k代入2x+3y=6得2×7k+3×(-2k)=6,解得k= 4 x=2m-8 4解析：将m当作已知数，表示出x,y,解得 因为x+y<5, 10 3 所以2m号+号<5，解得m号 1 因为m取非负整数，所以m取0,1,2,3,4 5.解析：由题意得x+y=0,即x=-y. 把x=y代入第一个方程得y=0,x= 194