第28讲 幂的运算(1)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

100 初中数学新思维  七年级 【知识要点】 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 . a a am n m n⋅ = + ( m，n 为正整数 ) . 2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘 . ( )am n = amn ( m，n 为正整数 ) . 积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 . ( )ab a bn n n= ( n 为 正整数 ) . 3. 同底数幂相除：底数不变，指数相减 . a a am n m n÷ = − ( m，n 为整数 ) . 特别的： a0 = 1 ， a−n = a 1 n ( a ≠ 0，n 为正整数 ) . 【例题展示】 例题 1  填空题 . ( 1 ) 计算： ( ) ( ) ( )b a a b b a− − −2 3 5 = ； ( 保留幂的形式 ) ( 2 ) 计算： − × −2 ( 2)5 4 = ； ( 保留幂的形式 ) ( 3 ) 若 a + b + c = 1，则 ( 2) ( 2) ( 2)− × − × −a b a c− + +1 2 2 2 的值为 . 例题 2  已知 4 2 2 2× × =a a+1 9 ，且 2a + b = 8，则 ab = . 第28讲 幂的运算（1） 101 例题 3  已知 xm = 5，xn = 7，则 x2m+n 的值是 . 例题 4  已知 2a = 5，2b = 20，2c = 8，则 a，b 的关系式是 ，c = . 例题 5  已知：22m+1 = 32，则 ( 3)m − 2016+m 的值是 . 例题 6  若 k 为正整数，则 2 ( 2) ( 2)× − + −2 2 1k k+ 的结果是 . 例题 7  已知：n 是一个小于 5 的正整数，且 ( 2) 2 ( 2)− ⋅ ⋅ −n n n+ −1 9 2 是一个负数， 试化简： ( ) ( ) ( )b a a b b a− − −n n5 4− . 【随堂练习】 1. 已知 x x x x⋅ ⋅ =m n 14 ， ( x ≠ 1 ) 且 m - n = 3，则 mn 的值是 . 第 28 讲  幂的运算（1） 102 初中数学新思维  七年级 2. 若 x，y 均为正整数，且 2 2 128x y+1 2⋅ = ，则 x + y 的值为 . 3. 若 2x + y - 2 = 0，则 9 3 1x y× − 的值为 . 4. 若 3x = 2，3y = 10，3n = 60，则 x、y、n 满足的等量关系式为 . 5.( 1 ) 计算： ( 1) ( 1)− − +a a3 2 = ； ( 结果保留幂的形式 ) ( 2 ) 计算： (2 ) ( 2) ( 2)− × − × −y y y3 2 5 = ； ( 结果保留幂的形式 ) ( 3 ) 已知 x = +2 1m ， y = +3 2m+1 ，若用含 x 的代数式表示 y，则 y = . 103 6. 已知 am = 2 ， an = 3 ，求 am n+2 的值 . 7. 已知 x x xa a a⋅ − = −( ) + +1 2 1 ，试写出 3 个符合题意的正整数 a 的值： . 8. 已知 x x x x⋅ − ⋅ =( )a a+1 ( ) ，其中 a 是正整数，如果括号里的数字是下列 24、25、 26、27 中的其中一个，请找出这个数字，并求出 a 的值 . 第 28 讲  幂的运算（1） 187 随堂练习参考答案 ∠E 的和是 180° . 2. 解析：根据多边形的外角和是 360°，∠A 的补角是 180° - 120° = 60°，所以 ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=360°-60°=300° . 3. 解析：这几个角可以凑成一个四边形和一个三角形的内角和，即 360° + 180° = 540° . 4. 解析：延长 DE，延长 BA，交于点 F，因为 AB∥CD，∠D = 130°，所以∠F = 50°，所以 ∠EAF = 90° - 50° = 40°，所以 ∠BAE = 180° - 40° = 140°，所以 ∠BCD = 140°，∠B = 540° - 140° - 140° - 130° - 90° = 40° . 5. 解析：由题意得 ( n - 1 ) 个内角的和是 2400° 要小于 n 个内角和， 2400° < ( n - 2 ) ×180°，所以 n> 151 3 ；除去的这个内角小于 180°，所以 ( n - 2 ) ×180° < 2400 + 180°，解得 n ＜ 16 1 3 ，所以 n=16 . 6. 解析：由题意得 ( n - 2 ) ×180° < 2050°，这个外角小于 180°， ( n - 2 )×180° > 2050° - 180°，解得n < 13 18 7 ，且n > 12 18 7 ，所以这个多边形是十三边形；内角和是： ( 13 - 2 ) ×180° = 1980°，外角是 2050° - 1980° = 70° . 7. 解析：因为 A'B 平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，所以∠CBA'= ∠A'BD，∠ECA'= ∠BCA'；因为∠BA'C = 120°，所以∠CBA'+ ∠BCA' = 180° - 120° = 60°，所以∠ABC + ∠ACB = 60° + 60° = 120°，所以∠A = 60°，∠DA'E = 60° . 在四边形 BCED 中，∠BDE + ∠CED = 360° - 120° = 240°，∠1 + ∠2 = 240° - ∠A'DE - ∠A'ED = 240° - ( 180° - 60° ) = 120° . 8. 解析：在四边形ABCD中，∠DAB +∠BCD = 360° - 90° - 90° = 180°， 1 2 (∠DAB + ∠BCD ) = 90°；因为 AE、CF 分别平分∠BAD 和 ∠BCD，所以∠DAE = ∠BAE， ∠BCF = ∠DCF，所以∠BAE + ∠BCF = 90°，在三角形 BCF 中，∠BCF + ∠BFC = 90°，所以∠BAE= ∠BFC，所以 AE∥CF . 【第28 讲】 1. 解析：因为 x x x x⋅ ⋅ =m n 14 ， x x x x⋅ ⋅ =m n m n1+ + ，所以 1 + m + n = 14，m + n = 13， 又因为 m - n = 3，所以 m = ( 13+3 ) ÷2 = 8，n = 13 - 8 = 5，mn = 8×5 = 40 . 2. 解析：2 2 2 2 2 128x y x y+1 2 2⋅ = × ⋅ = ，即： 2 64 2x y+2 6= = ，所以 x + 2y = 6， 188 初中数学新思维  七年级 因为 x，y 为正整数，当 x = 2 时，y = 2；当 x = 4 时，y = 1， 所以 x + y 为 4 或 5 . 3. 解析：原式 = 9 3 1 3 3 1 3 1x y x y x y× − = × − = −2 2 + ， 因为 2x + y - 2 = 0，所以 2x + y = 2， 将 2x + y = 2 代入 3 12 x y+ − 得 3 1 82 − = . 4. 解析：因为 60 = 2×3×10，所以 3 3 3 3 3n x y x y= × × = + +1 ，所以 n = x + y + 1 . 5. 解析：( 1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)− − + = − + + = − + + = − +a a a a a a a3 2 2 3 2 5 [ ]3 . ( 2 ) 原式 = − − × − × − = − − × − × −[ ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)y y y y y y]3 2 5 3 2 5 = − − ( 2)y 10 . ( 3 ) 因为 y = +3 2m+1 ，所以 y = + ×3 2 2m ， 将 2 1m = −x 代入得 y x= + − ×3 ( 1) 2 ，即 y = 2x + 1 . 6. 解析：原式 a a a a a am n m n m n n+2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ ；将 am = 2 ， an = 3 ，代入得 am n+2 = 2×3×3 = 18 . 7. 解析：由题意 x x xa a a⋅ − = −( ) + +1 2 1得 a + 1 为奇数； a + 1 = 3，a = 2；a + 1 = 5，a = 4；a+1=7，a=6 . 8. 解析：由题意 x x x x⋅ − ⋅ =( )a a+1 ( ) 知 a 应为偶数， 所以 x x x x x x⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =( )a a a a+ +1 1 x2 2a+ . 当 2a + 2 = 24 时，a = 11，不合题意； 当 2a + 2 = 25 时，不合题意；当 2a + 2 = 26 时，a = 12； 当 2a + 2 = 27 时，不合题意 . 所以 a = 12 . 【第29 讲】 1. 解析：( 1 ) ( 0.25) 4 4 4 4 4− × = − × × = − × ×2022 2023 2022           1 1 4 4 2022 2022 = 4； ( 2 ) 27 9 3 3 32 3 6 6× = × = × =(3 ) (3 )3 2 2 3 n ，所以 n = 6 + 6 = 12； ( 3 ) ( ) ( 2 ) (3 ) 4 27 108− ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −a a a a a a a5 2 3 5 2 3 10 . 2. 解析：( 1 ) a a2 2 2x x= = − =( ) ( 2) 4 ， a a3 3 3y y= = =( ) 3 27 ，所以 a a2 3x y+ = 4 + 27 = 31； ( 2 ) a a a2 3 2 3x y x y+ = ⋅ ，由 ( 1 ) 得 a2 x = 4，a3 y = 27，所以a2 3x y+ = 4×27 = 108 .