第25讲 相交线与平行线(2)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

84 初中数学新思维  七年级 【例题展示】 例题 1  如图，∠BCD = 90°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足的等式是： . 例题 2  如图 1，已知 AB∥CD，∠B = 20°，∠D = 110° . ( 1 ) 若∠E = 50°，求∠F 的度数； ( 2 ) 探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系，并说明理由； ( 3 ) 如图 2，EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，FG 的反向延长线交 EP 于点 P， 求∠P 的度数． 图 1 图 2 第25讲 相交线与平行线（2） 85 例题 3  如图，已知 AM∥BN，∠A = 60°，点 P 是射线 AM 上一动点 ( 与点 A 不重合 )，BC，BD 分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线 AM 于点 C，D . ( 1 ) 求∠CBD 的度数 . ( 2 ) 当点 P 运动时，∠APB : ∠ADB 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个 比值；若变化，请找出变化规律 . ( 3 ) 当点 P 运动到某处时，∠ACB = ∠ABD，求此时∠ABC 的度数 . 例题 4  如图，已知 AB∥CD，点 E 在直线 AB，CD 之间．若 AH 平分∠BAE， 将线段 CE 沿 CD 平移至 FG . ∠AEC = 90°，HF 平分∠DFG，求∠AHF 的度数 . A B C F D E H G 第 25 讲  相交线与平行线（2） 86 初中数学新思维  七年级 【随堂练习】 1. 直线 AB∥CD，∠E = ∠F，∠1 = 30°，那么∠2 = 度 . 2. 如图，两条射线 AM∥BN，线段 CD 的两个端点 C、D 分别在射线 BN、AM 上，且∠A = ∠BCD = 108°. E 是线段 AD 上一点 ( 不与点 A、D 重合 )，且 BD 平分 ∠EBC. ( 1 ) 求∠ABC 的度数 . ( 2 ) 请在图中找出与∠ABC 相等的角，并说明理由 . ( 3 ) 若平行移动 CD，且 AD > CD，则∠ADB 与∠AEB 的度数之比是否随着 CD 位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值 . A B E F C D 1 2 87 3.如图，已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间， 连接 MG、NG . 若点 P 是 CD 下方一点，MG 平分∠BMP，ND 平分∠GNP，∠BMG = 30°，求∠G + ∠P 的度数 . 4. 如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = ∠6. 求证：AD∥BC . 1 3 2 5 4 6 A B CDE 第 25 讲  相交线与平行线（2） 88 初中数学新思维  七年级 5. 如图，AB∥CD，点 E 是在 AB、CD 之间，且在 BD 的左侧平面区域内一点， 连接 BE，DE．作出∠EBD 和∠EDB 的角平分线，两线交于点 F，猜想∠F，∠ABE， ∠CDE 之间的关系，并证明你的猜想 . 6. 如图 1，已知点 C 为两条相互平行的直线 AB、ED 之间一点，∠ABC 和 ∠CDE 的角平分线相交于点 F，且∠FDC + ∠ABC = 180° . ( 1 ) 求证：AD∥BC ； ( 2 ) 如图 2，连接 CF，若 CF∥AB，∠CFB= 2 3 ∠DCF，求∠BCD 的度数 . 图 1 图 2 C B A F E D C B A F E D 184 初中数学新思维  七年级 3. 解析：因为 ∠1 = ∠2，所以 BD∥CE，∠ABD = ∠C，又因为∠C = ∠D，所 以 ∠D = ∠ABD，所以 AC∥DF，所以 ∠A = ∠F . 4. 解析：过每一个顶点作平行于 a、b 的平行线 . 根据平行线的性质，最后算出 来∠x 的度数是 72° . 5. 解析：分别过顶点 E、F、G、H 作平行于 AB 的平行线；这样可以得到 5 组平 行线，根据平行线的性质可知，每一组平行线同旁内角和是 180°，180°×5 = 900° . 6. 解析：因为 AB∥CD，所以 ∠AGF = ∠PHG，因为 ∠OHP =180° - ∠PHG， 所以 ∠PHG = ∠HOP + ∠HPO，∠AGF = ∠HOP + ∠HPO， 所以 ∠HOP = ∠AGF - ∠HPO . 7. 解析：延长 AB、FE，交于点 M，FE 的延长线交 BC 于 N， 因为 CD∥EF， 所以∠2 = ∠MNB，因为 ∠1 + ∠2 = ∠ABC，所以 ∠1 + ∠MNB = ∠ABC . 又因为 ∠NMB +∠MNB =∠ABC，所以 ∠1 =∠NMB，同位角相等，两直线平行 . 所以 AB∥GF . 【第25讲】 1. 解析：延长 CF 交 AB 于点 M，因为 ∠E = ∠F，所以 BE∥CM，所以 ∠1 = ∠BMF = 30°，又因为 AB∥CD，所以 ∠BMF = ∠FCD=30°，所以 ∠2 = 180° - 30° = 150° . 2. 解析：( 1 ) 因为 AM∥BN，所以 ∠A + ∠ABC =180°，因为 ∠A =108°，所以 ∠ABC = 180 - 108° = 72° . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知∠ABC = 72°，∠BCD = 108°，所以 AB∥CD，所以 ∠DCN = ∠ABC，∠ADC = ∠DCN = ∠ABC . ( 3 ) 因为 AM∥BN，所以 ∠ADB = ∠CBD，又因为 BD 平分 ∠EBC，所以∠CBD = ∠EBD，所以 ∠EBD = ∠ADB，∠BED = 180° - ( ∠EBD + ∠ADB ) ，所以 ∠AEB = ∠EBD + ∠ADB，即 ∠AEB = 2∠ADB，所以 ∠ADB : ∠AEB = 1 : 2 . 3. 解析：由题意得，因为 MG 平分 ∠BMP，ND 平分 ∠GNP，所以 ∠BMG = ∠GMP，∠GND = ∠PND . 185 随堂练习参考答案 根据铅笔头模型，∠G = ∠BMG + ∠GND =30° + ∠GND ， ∠P + ∠PND = 60°，∠P = 60° - ∠PND = 60°- ∠GND，所以 ∠P + ∠G = 30° + 60° = 90° . 4. 解析：因为∠5 = ∠6，所以 EC∥AB，所以 ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°，因为 ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以∠3 + ∠1 + ∠5 = 180°，同旁内角互补，两直线平行，所以 AD∥BC . 5. 解析：根据猪蹄模型，∠E = ∠ABE + ∠CDE，又因为 ∠E = 180°- ( ∠EBD + ∠EDB ) ， 即 ∠ABE + ∠CDE =180° - ( ∠EBD + ∠EDB ) = 180° - ( 2∠FBD + 2∠FDB ) =180° - 2× ( ∠FBD + ∠FDB ) = 180° - 2× ( 180° - ∠F ) . 所以∠ABE + ∠CDE = 180° - 2× ( 180° - ∠F )= 180° - 360° + 2∠F = 2∠F - 180° . 6. 解析：( 1 ) 因为 AB∥ED，所以 ∠EDF = ∠FAB，又因为 DF 平分 ∠CDE，所 以∠EDF = ∠FDC，所以 ∠EDF = ∠FDC = ∠FAB，因为 ∠FDC + ∠ABC = 180°， 所以 ∠FAB + ∠ABC = 180°，所以 AD∥BC . ( 2 ) 设 ∠DCF = x，∠CFB = 2 3 ∠DCF = 1.5x；因为 CF∥AB，所以 ∠ABF = ∠CFB = 1.5x . 又因为 BF 为 ∠ABC 平分线，所以∠ABC = 1.5x + 1.5x = 3x；因为 ∠CDF + ∠ABC = 180°，AD∥BC，所以∠CDF + ∠BCD = 180°，所以∠ABC = ∠BCD = 3x； 所以∠BCF = 2x；2x + 3x = 180°，x = 180°÷5 = 36°，所以∠BCD = 36°×3 = 108° . 【第26讲】 1. 解析：C 2，9，9， 3，8，9， 4，8，8， 4，9，7， 5，8，7， 5，9，6， 6，6，8， 6，7，7 . 2. 解析：两边之和大于第三边，第三边不能为 0，所以 12 - 2x > 0，解得 x < 6； 12 - 2x < 2x，解得 x > 3，所以 3 < x < 6 . 3. 解析：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以 1 - 2m < 3 + 8， 1 - 2m > 8 - 3，解得 -5 < m <-2 . 4. 解析：A 因为∠B + ∠C = 180° - 30° =150°，四边形内角和 360°，所以∠CMN + ∠BNM =