第24讲 相交线与平行线(1)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

183 随堂练习参考答案 1 2 ( )∠ +∠AOC BOD = 1 2 × ( 160°+20° ) = 90°， 所以∠MON = 90° - 20° = 70° . 3. 解析：( 1 ) 当作追及问题 . OC 追上 OD 所用的时间，就是要求的时间；一开 始两条射线夹角是 120°，OC 每分钟比 OD 每分钟多旋转 20° - 5° = 15°，追上时间为 120°÷15° / 分 = 8 分钟 . ( 2 ) 存在 . 设经过的时间是 t 分钟，∠COD = 5°t÷2，∠BOC = 20°t - 120°， 所以 5°t÷2 = 20°t - 120°，解得 t = 48 7 . ( 3 ) 当在 OC 追上 OD 之前，5°t + 120°-20°t=90°，解得 t = 2； 当 OC 超过 OD 以后，20°t - ( 5°t + 120° ) = 90°，解得 t = 14 . 所以当 t = 2 分钟或 t = 14 分钟时，射线 OC 与 OD 垂直 . 4. 解析：( 1 ) 旋转前，因为∠DOE = 30°，所以∠AOD = 60°，现在∠AOD 是 80°，所以∠COE = 80° - 60° = 20° . ( 2 ) ∠AOD = ∠AOC + ∠COD，∠COE = ∠COD + 30°， 所以∠AOD - ∠COE = ∠AOC + ∠COD - ( ∠COD + 30° ) = ∠AOC - 30° = 60° . ( 3 ) 当 OD 在 AO 和 OC 之间时，∠AOE = 4 ∠COD， 90° + ∠COE = 4 ( 30°- ∠COE ) ， 所以 5∠COE = 30°，∠COE = 6° . 当 OD 在 OB 和 OC 之间时，∠AOE = 90° + ∠COE，∠COD = ∠COE - 30°， 90° + ∠COE = 4 ( ∠COE - 30° ) ，3∠COE = 210°，∠COE = 70° . 所以∠COE 为 6° 或 70° . 【第24讲】 1. 解析：反向延长 ED 交 BC 于点 M，因为 AB∥DE，所以 ∠BMD = 80°，所以 ∠CMD = 180° - 80° = 100°，又因为∠CDE = 140°，所以 ∠CDM = 40°， 所以 ∠BCD = 180° - 100° - 40° = 40° . 2. 解析：因为 AB∥CD，所以 ∠BFC = 180° - 115° =65°，所以 ∠AFE = 65°，又 因为三角形内角和为 180°，所以 ∠E = 180° - 65° - 25° = 90° . 184 初中数学新思维  七年级 3. 解析：因为 ∠1 = ∠2，所以 BD∥CE，∠ABD = ∠C，又因为∠C = ∠D，所 以 ∠D = ∠ABD，所以 AC∥DF，所以 ∠A = ∠F . 4. 解析：过每一个顶点作平行于 a、b 的平行线 . 根据平行线的性质，最后算出 来∠x 的度数是 72° . 5. 解析：分别过顶点 E、F、G、H 作平行于 AB 的平行线；这样可以得到 5 组平 行线，根据平行线的性质可知，每一组平行线同旁内角和是 180°，180°×5 = 900° . 6. 解析：因为 AB∥CD，所以 ∠AGF = ∠PHG，因为 ∠OHP =180° - ∠PHG， 所以 ∠PHG = ∠HOP + ∠HPO，∠AGF = ∠HOP + ∠HPO， 所以 ∠HOP = ∠AGF - ∠HPO . 7. 解析：延长 AB、FE，交于点 M，FE 的延长线交 BC 于 N， 因为 CD∥EF， 所以∠2 = ∠MNB，因为 ∠1 + ∠2 = ∠ABC，所以 ∠1 + ∠MNB = ∠ABC . 又因为 ∠NMB +∠MNB =∠ABC，所以 ∠1 =∠NMB，同位角相等，两直线平行 . 所以 AB∥GF . 【第25讲】 1. 解析：延长 CF 交 AB 于点 M，因为 ∠E = ∠F，所以 BE∥CM，所以 ∠1 = ∠BMF = 30°，又因为 AB∥CD，所以 ∠BMF = ∠FCD=30°，所以 ∠2 = 180° - 30° = 150° . 2. 解析：( 1 ) 因为 AM∥BN，所以 ∠A + ∠ABC =180°，因为 ∠A =108°，所以 ∠ABC = 180 - 108° = 72° . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知∠ABC = 72°，∠BCD = 108°，所以 AB∥CD，所以 ∠DCN = ∠ABC，∠ADC = ∠DCN = ∠ABC . ( 3 ) 因为 AM∥BN，所以 ∠ADB = ∠CBD，又因为 BD 平分 ∠EBC，所以∠CBD = ∠EBD，所以 ∠EBD = ∠ADB，∠BED = 180° - ( ∠EBD + ∠ADB ) ，所以 ∠AEB = ∠EBD + ∠ADB，即 ∠AEB = 2∠ADB，所以 ∠ADB : ∠AEB = 1 : 2 . 3. 解析：由题意得，因为 MG 平分 ∠BMP，ND 平分 ∠GNP，所以 ∠BMG = ∠GMP，∠GND = ∠PND . 78 初中数学新思维  七年级 【知识要点】 1. 三线八角：两条直线被第三条直线所截，构成八个角：同位角，内错角，同 旁内角，对顶角 . 2. 判定及性质：( 1 ) 同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 . ( 2 ) 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 . ( 3 ) 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 . 3. 四大模型：猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿模型、脚丫模型 . 猪蹄模型：∠ACB = ∠A + ∠B 铅笔头模型：∠A + ∠B + ∠C = 360° 锯齿模型：∠A + ∠B = ∠C + ∠D 脚丫模型：∠A + ∠B = ∠C 第24讲 相交线与平行线（1） 79 【例题展示】 例题1  如图，已知 AB∥DE，∠ABC = 90°，∠CDE = 140°，则∠BCD = . 例题2  如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC + ∠ACE + ∠CEH = . 例题 3  如图，已知 AB∥CD，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于 F，∠E = 140°， 则∠BFD 的度数是 . A B C D E 第 24 讲  相交线与平行线（1） 80 初中数学新思维  七年级 例题 4  如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D'、C' 的位 置，若∠EFB = 65°，则∠AED' = . 例题 5  如图，已知 FC∥AB∥DE，∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 5，求∠α、∠D、∠B 的 度数 . 例题 6  如图，直线 MN 分别与直线 AC、DG 交于点 B、F，且∠1 = ∠2. ∠ABF 的角平分线 BE 交直线 DG 于点 E，∠BFG 的角平分线 FC 交直线 AC 于点 C. ( 1 ) 求证：BE∥CF； ( 2 ) 若∠C = 35°，求∠BED 的度数 . A E D CFB D' C' α F C A B D E A B C FED G M N 1 2 81 【随堂练习】 1. 如图，AB∥DE，∠ABC = 80°，∠CDE = 140°，则∠BCD = . 2. 如图，已知直线 AB∥CD，∠C = 115°，∠A = 25°，则∠E = . 3. 如图，已知∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：∠A = ∠F. 第 24 讲  相交线与平行线（1） 82 初中数学新思维  七年级 4. 如图，直线 a∥b，那么∠x 的度数是 _________ . 5. 如图，两直线 AB、CD 平行，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = . 83 6. 如图，已知两条平行线 AB，CD 被直线 EF 所截，交点分别为 G，H . P 为 HD 上任意一点，过 P 点的直线交 HF 于 O 点，求证：∠HOP = ∠AGF - ∠HPO. 7. 如图，已知 CD∥EF，∠1 + ∠2 = ∠ABC，求证：AB∥GF． 第 24 讲  相交线与平行线（1）