4.2由平行线截得的比例线段（分层作业，8大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 4.2 由平行线截得的比例线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 B组 能力进阶 题型01 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 题型02 多次利用平行线分线段成比例求解 题型03 作垂线构造平行线分线段成比例 题型04 作平行线构造平行线分线段成比例 题型05 平行线分线段成比例（逆定理） C组 思维拔高 题型 由平行线截得的比例线段·创新性问题 由平行线判断成比例的线段题型01 1．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 由平行截线求相关线段的长或比值题型02 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 4．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（   ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 5．如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长为______． 6．如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．    7．（25-26九年级·期末）如图，在中，点为边上一点．请用尺规作图法在边上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 8．（2026·河南许昌·二模）在正方形中，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合），将线段绕点E逆时针旋转得到． (1)如图1，若点F落在线段上，则的度数为________． (2)如图2，若线段的延长线经过点C，且点F是的中点，求的度数． (3)若射线交射线于点G，当时，请直接写出的值． 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合题型01 1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________． 2．如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    多次利用平行线分线段成比例求解题型02 1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于    A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1 2．（24-25九年级上·湖南邵东·月考）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 3．如图， 点分别在的边上， ， 点在边上， 交 于点， 点是线段的中点， 若， 则___________． 4．如图，在中，，，与相交于点，则______. 5．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____． 6．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，交于点F．若， (1)求的值； (2)求的长． 8．如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，设，，请用向量、表示向量． 作垂线构造平行线分线段成比例题型03 1．如图，锐角内接于，在上，，，过分别作的垂线交于点P，连结，若的半径为r，那么的长是________（用含r的代数式表示）． 2．已知，如图四，中，是边上的中线，于B，且，求证：． 3．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 作平行线构造平行线分线段成比例题型04 1．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 3．（24-25九年级上·海南·月考）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 4．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务： (1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 5．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点， ①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值 ②证明：； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 平行线分线段成比例（逆定理）题型05 1．（24-25九年级上·上海·月考）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点、分别在的边、上，下列条件一定能够判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 由平行线截得的比例线段·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26九年级上·山西运城·月考）项目学习 项目背景：小明家旁边有一棵千年古树，远近闻名，学校综合与实践小组以探究“设计测量古树高度的方案”为主题开展了项目学习． 项目主题：设计测量古树高度的方案． 驱动问题：如何测量千年古树的高度？ 活动内容：利用相似、方程等知识进行测量计算． 活动有关信息：①一组同学测得长为1米的竹竿的影长为米； ②如图：另一组同学在同一时刻去测量古树的影子长度，测量时，发现古树的影子有一部分落在了竖直的墙上，测得古树在地面的影长为15米，墙上的影长为米． 根据上述信息，求出古树的高度． 3．小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点， 发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得， 请你完成上述证明过程： 结论应用 已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点． (1)请你完成发现中的证明过程； (2)如图2当，，求的值； (3)如图3当，与的边垂直时，求的值． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 5．（24-25九年级·陕西咸阳·月考）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 6．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为___________． 8．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同； (1)求点D的坐标； (2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 由平行线截得的比例线段 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 B组 能力进阶 题型01 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 题型02 多次利用平行线分线段成比例求解 题型03 作垂线构造平行线分线段成比例 题型04 作平行线构造平行线分线段成比例 题型05 平行线分线段成比例（逆定理） C组 思维拔高 题型 由平行线截得的比例线段·创新性问题 由平行线判断成比例的线段题型01 1．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：解：由图，根据对应性，可得． 故选：B 2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例． 故选：C． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，，，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， 故①②④正确；故③错误； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质． 8．如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 【答案】(1) 如图，、为所作； (2)正方形为正方形，，， 【分析】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线分线段成比例， （1）①在上截取； ②过A点作的垂线得到； （2）先利用正方形的性质得到，，再证明得到，接着证明，所以，根据利用平行线分线段成比例定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）证明：∵正方形为正方形， ∴，， 由（1）知， ， ， ∵， ． 是的一个外角， ， 由（1）知， ， ∴， ∴． 由平行截线求相关线段的长或比值题型02 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理得=，代入数据计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴=， 即=， 解得EC=8， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 3．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 4．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（   ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 【答案】A 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 5．如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据平行线所截线段对应成比例即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，，， ∴ ， 故答案为4． 【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，解题关键是找到相对应的线段代入求解． 6．如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，再根据平行线分线段成比例得到即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵交于点， ∴， ∴， ∵交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 7．（25-26九年级·期末）如图，在中，点为边上一点．请用尺规作图法在边上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求； 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法． 作即可得到，那么． 【详解】略 8．（2026·河南许昌·二模）在正方形中，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合），将线段绕点E逆时针旋转得到． (1)如图1，若点F落在线段上，则的度数为________． (2)如图2，若线段的延长线经过点C，且点F是的中点，求的度数． (3)若射线交射线于点G，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，则，再证明，据此求解即可； （2）连接，证明，求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上，作于点，证明，推出，再求得，据此求解即可；当点在线段上，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点E逆时针旋转得到， 若点F落在线段上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在线段上，作于点， ∵正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，作于点， 同理，， ∴； 综上，的值为或． 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合题型01 1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________． 【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,，分别计算出和，最后根据得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接DF，过点G作 ，过点A作，垂足为O， MN交AO于点H, 得， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵D、F是中点， ∴ ∴， ， ∵， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形的中线、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理计算出三角形高的比例． 2．如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【答案】 证明：过D作交于N，如图所示：   ，， ∵M为的中点， ， ， 是边上的中线， ， ， ， ∴． 【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键． 多次利用平行线分线段成比例求解题型02 1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于    A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1 【答案】C 【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案． 【详解】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设，    则； ∵，∥， ∴， ∴， ∵∥， ∴， ∴， ∵∥， ∴， ∴，即， ∵∥， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键． 2．（24-25九年级上·湖南邵东·月考）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图， 点分别在的边上， ， 点在边上， 交 于点， 点是线段的中点， 若， 则___________． 【答案】 【分析】根据已知条件推出，根据平行线分线段成比例定理求出，推出，代入求出即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理． 4．如图，在中，，，与相交于点，则______. 【答案】 【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可． 【详解】解：作交于，作交于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理． 5．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____． 【答案】 2 4 【分析】如果把△ABE与△ABC看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于AE：AC．所以为了求出△ABE的面积，由于已知S△ABC＝10，只需求出AE：AC即可．为此，取EC中点F，连接DF．先由等腰三角形三线合一的性质得出D为BC中点，又F为EC中点，根据三角形中位线定理证出DF∥BE，再由平行线分线段成比例定理求出AE：EF，进而得出AE：AC，即可求S△ABE；根据S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE，先求出S△BEC，再根据三角形的中线将三角形的面积二等分，得出S△DEC． 【详解】解：如图所示，取EC中点F，连接DF． ∵AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴D为BC中点． ∵F为EC中点， ∴DF∥BE，则DF∥PE， ∴， ∴＝． ∴， ∴S△ABE＝S△ABC＝×10＝2； ∵S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE＝10﹣2＝8， 又∵D为BC中点， ∴S△DEC＝S△BEC＝×8＝4． 故答案为2，4． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，中位线定理以及平行线分线段成比例，根据底边之比得到面积比是解决本题的关键. 6．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，交于点F．若， (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可知、，然后代入化简即可； （2）如图：过点D作交AB于点M，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，易得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵AEAD， ∴， ∴． （2）解：如图：过点D作交AB于点M， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，设，，请用向量、表示向量． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB，即可证明平行四边形； （2）由DF∥BC，FG∥AB，根据（1）中线段的关系及向量的解法即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，， ∴=， 即：； 故：=． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 作垂线构造平行线分线段成比例题型03 1．如图，锐角内接于，在上，，，过分别作的垂线交于点P，连结，若的半径为r，那么的长是________（用含r的代数式表示）． 【答案】## 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理证明共线．作直径，假设分别交直线于和，连接，由圆周角定理推出，而，，得，由平行线分线段成比例定理推出，得到，因此，得到和重合于，于是、、共线，由，得到，即可求出，得到即可求解． 【详解】作直径，设分别交直线与，连接如图所示： 与重合于点P， 三点共线， 故答案为：． 2．已知，如图四，中，是边上的中线，于B，且，求证：． 【答案】 证明：过点A作，交的延长线于E． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的性质；三角形的中线,平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质．过点A作，交的延长线于E，可由平行线的判定得到，再由中位线的性质和含30度角的直角三角形的性质即可证明． 【详解】略 3．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】(1)成立 (2) 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【详解】（1）成立．证明：∵  ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, （2）关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 作平行线构造平行线分线段成比例题型04 1．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【详解】解：对A、B选项．∵，， ∴， ∴，，故AB正确，不符合题意； C．∵，， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵，而， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 【答案】 （1）证明：如图，过点C作，交BA的延长线于点E． ， ． 平分， ， ， ． （2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用——证明三角形角平分线分线段成比例及角平分线分线段成比例的运用，掌握平行线分线段成比例及折叠性质是解题的关键． （1）过点C作，交BA的延长线于点E．通过证明，再结合平分线分线段成比例即可求证； （2）利用折叠前后图形全等并利用（1）问的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠，得． E是BC的中点， ． 由折叠可知，CD是的平分线， ， ． 3．（24-25九年级上·海南·月考）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【答案】(1) 证明：∵， ，，， ， ， ， ． (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， ， ． 4．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务： (1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边 (2) 证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）运用面积法进行证明即可； （3）利用（1）中的结论，求出的长即可． 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）略； （3）解：∵中，是角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴． 5．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点， ①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值 ②证明：； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 【答案】（1）①； ②证明：延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ， ∵DQ=AD，BD=DC， 四边形ABQC是平行四边形． ∴PM∥BQ，PN∥CQ， ∴，， ∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．） （2）证明：过点D作DE∥PM交AB于E， ∴， 又∵PM∥AC，∴DE∥AC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【分析】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值； ②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得； （2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得． 【详解】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E， ∵PM∥AC，∴DE∥AC， . ∵点D为BC中点， ∴点E是AB中点，且， ∴； ②略 （2）略 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键． 平行线分线段成比例（逆定理）题型05 1．（24-25九年级上·上海·月考）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．已知点、分别在的边、上，下列条件一定能够判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解答：解：当， 不能判定，故选项A不符合题意； 当， 不能判定，故选项B不符合题意； 当，即， 能判定，故选项C符合题意； 当， 不能判定，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 3．（25-26九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 4．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 由平行线截得的比例线段·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西运城·月考）项目学习 项目背景：小明家旁边有一棵千年古树，远近闻名，学校综合与实践小组以探究“设计测量古树高度的方案”为主题开展了项目学习． 项目主题：设计测量古树高度的方案． 驱动问题：如何测量千年古树的高度？ 活动内容：利用相似、方程等知识进行测量计算． 活动有关信息：①一组同学测得长为1米的竹竿的影长为米； ②如图：另一组同学在同一时刻去测量古树的影子长度，测量时，发现古树的影子有一部分落在了竖直的墙上，测得古树在地面的影长为15米，墙上的影长为米． 根据上述信息，求出古树的高度． 【答案】米 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，由平行判断成比例的线段，掌握知识点是解题的关键． 在上截取，连接，证明四边形是平行四边形，得到，推导出，求出，则（米），即可解答． 【详解】解：如图， 在上截取，连接． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴（米）． 答：古树的高度为米． 3．小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点， 发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得， 请你完成上述证明过程： 结论应用 已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点． (1)请你完成发现中的证明过程； (2)如图2当，，求的值； (3)如图3当，与的边垂直时，求的值． 【答案】(1) 证明：如图1， 延长至，使得，连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ； (2)2 (3)或或1 【分析】（1）延长至，使得，连接，可推出，从而，从而推出，进一步得出结论； （2）可推出平分，从而得出； （3）分为三种情形：当时，由（1）知：，当时，作于，不妨设，则，，，从而得出，当时，可得出． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， 点关于的对称点为点， 平分， ； （3）解：如图2， 当时， ， 由（1）知：， 如图3， 当时， 作于， 不妨设，则， ，， ， 如图4， 当时， 可得， ， 综上所述：或或1． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角平分线的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 【答案】（1）＝； （2）成立．证明： ，， ， 由旋转性质可知， 在和中， ， ， ； （3）． 【分析】（1）由，得到，结合，得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）由旋转构造出，再用勾股定理计算出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，将绕点旋转得，连接， ， ，，， ， 在中，由勾股定理可得，， 在中，，，， ， 是直角三角形 ， ， 又， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 5．（24-25九年级·陕西咸阳·月考）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 【答案】 （1）解：，理由如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）正方形的边长为； （3）的长度． 【分析】本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，即可得证； （2）在中，求出，由（1）可推出，，则，即可求出正方形的边长； （3）取、的中点，，连接交于点，连接，则四边形是正方形，由勾股定理得出，设，则，，根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）∵在中，，， ， 由（1）得，， ； ， ∴在正方形中，，即边长为； （3）如图所示，取、的中点，，连接交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，，， ∵点，分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形， ， ， ∵在中，，， ， ， ， 由（1）同理可得，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 6．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 【答案】## 【分析】过点作，交于点，交于点，根据正方形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形三线合一推出为的中点，平行线分线段成比例，得到为的中点，设，得到，勾股定理求出的长，进而表示出的长，中位线定理表示出的长，再利用勾股定理求出的值，进而求出的值，利用，即可得出结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∵恰好是以为底的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，矩形的判定和性质，斜边上的中线，平行线分线段成比例，三角形的中位线，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，平行线间线段成比例，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 过点O作于点D，连接，先求出，，分类讨论：①当点E在点之间时，过点F作于M， ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M， 逐个分析求解即可． 【详解】解：过点O作于点D，连接，如图 ∴， ∵为直径， ∴， ， ∴， ∴， ①当点E在之间时，过点F作于M，如图 ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，即． ∵， ∴， ∴，即， 解得． ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M，如图 由①，同理可得： ∴， ， ∴， 解得． ∵， ∴即， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 8．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同； (1)求点D的坐标； (2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由． 【答案】（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4； （3）存在，其坐标为（，）或（14，-16） 当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4， ∵∠BPQ=90°， ∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°， ∴∠OPB=∠QPM， 在△BOP和△PMQ中， ∴△BOP≌△PMQ（AAS）， ∴BO=PM=2，OP=QM=t， ∴Q（2+t，t）， 又Q在直线CD上， ∴t=-2（t+2）+12， ∴t= ， ∴Q（，）； 当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5， 同理可证明△BOP≌△PNQ， ∴BO=PN=2，OP=QN=t， ∴Q（t-2，-t）， 又∵Q在直线CD上， ∴-t=-2（t-2）+12， ∴t=16， ∴Q（14，-16）， 综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（，）或（14，-16）． 【分析】（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标； （2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式； （3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b， 将A（-4，0）、B（0，2）两点代入， 解得，k＝ ，b=2， ∴直线AB解析式为y＝x+2， ∵D点横纵坐标相同，设D（a，a）， ∴a＝a+2， ∴D（4，4）； （2）设直线CD解析式为y=mx+n， 把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12， ∴直线CD的解析式为y=-2x+12， ∴AB⊥CD， 当 0≤t＜4时，如图1， 设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t， ∴PC=6-t，AP=4+t， ∵PF∥OG， , , , , 当4＜t≤6时，如图2， 同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t， 此时y=PE-PF= t+2−(−2t+12)＝t−10， 当t＞6时，如图3， 同理可求得PE=2+，PF=2t-12， 此时y=PE+PF=t-10； 综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4； （3）略． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $