第11讲 单项式与多项式-【初中数学新思维】七年级全国通用版

35 【知识要点】 1. 单项式：表示数与字母，或字母与字母的乘积的式子叫作单项式 . 单独一个数，或一个字母也是单项式 . 2. 多项式：几个单项式的和叫作多项式 . 多项式中，次数最高项的次数，叫作这 个多项式的次数 . 3. 整式：单项式与多项式统称为整式 . 【例题展示】 例题 1  如果 ( 5)k − x k−2 y3 是关于 x，y 的六次单项式，求 k 的值 . 例题 2  若化简关于 x，y 的整式 x x x3 2 2+ + − − +2 ( )a xy b xy y2 ，得到的是一个 三次二项式，求 a b3 2+ 的值 . 例题3  当 k为何值时，关于 x，y的多项式 x2 + − − −2 3 6kxy xy yy2 中不含 xy项？ 第11讲 单项式与多项式 第 11 讲  单项式与多项式 36 初中数学新思维  七年级 例题 4 已知 a b− = 2 ， a c− = 1 2 ，求代数式 ( ) 3 ( )b c b c− + − −2 9 4 的值 . 例题 5  李明在计算一个多项式减去 2 4 5x2 − +x 时，误认为加上此式，计算的 结果为 − + −2 1x2 x ，试求出正确的结果 . 例题 6  已知 (2 1)x x− = + + + + + +6 a a a x a x a x a x a x0 1 2 3 4 5 62 3 4 5 6 ，则 a a a a a a a0 1 2 3 4 5 6+ + + + + + 的值是 ； a a a a0 2 4 6+ + + 的值是 . 【随堂练习】 1. 若 −2ax3 y b−3 是关于 x，y 的单项式，且系数为 8，次数为 4，求 a，b 的值 . 2. 若 ( 3) 2 ( 2)m x m− − − +x2 是关于 x 的一次多项式，则 m = . 若它是关 于 x 的二次二项式，则 m = . 37 3. 已知关于字母 x 的多项式 2 ( 1) 3 ( 2) 3x x x x5 4 3 2+ + + − − +m n 不含 x 的偶次方， 试确定 m n2 2+ 的值 . 4. 已知 2 10x2 + =xy ， 3 2 6y2 + =xy ，求 4 8x2 + +xy 9 y2 的值 . 5. 小明在做一道题时，计算 2A+B . 他误将“2A+B”看成了“A+2B”，计算的结 果为 9 2 7x x2 − + . 已知 B x x= + −2 3 2 ，求原题的正确结果 . 第 11 讲  单项式与多项式 173 随堂练习参考答案 2. 解析：令 1 + 7 + 72 + 73 + … + 799+ 7100 = s，则 7 + 72 + 73 + … + 7101 = 7s； 第二个式子减去第一个式子可得 7101 - 1 = 6s；所以 s = 7 1 101 6 − ，所以原式 = 7 1 101 6 − . 3. 解析：令      1 1 1 2 3 2012 + + + = a ，      1 1 1 2 3 2011 + + + = b . 原式 = a× ( 1 + b ) - b× ( 1 + a ) = a + ab - b - ab = a - b =            1 1 1 1 1 1 2 3 2012 2 3 2011 + + + − + + +  = 2012 1 . 4. 解析： 原式 = ( 1 - 2 ) + ( 3 - 4 ) + ( 5 - 6 ) + ( 7 - 8 ) +…+ ( 99 - 100 ) = -1+ ( -1 ) + ( -1 ) +…+ ( -1 ) = -50 . 5. 解析： 原式 【第11讲】 1. 解析：因为系数是 8，所以 -2a = 8，a = -4， 因为次数是 4，所以 b − =3 1 ，解得 b = 4 或 b = 2 . 2. 解析：( 1 ) 因为是一次多项式，所以 m - 3 = 0，m = 3； = + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + = + + + + + = = = （ ） 1 2 3 4 98 2425.5 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 98 1 3 1 98 98 2 1 2 3 4 98 2 3 3 4 4 2 2 99 2 2 2 2 2 1 98 98 2 + + + + + + × ÷ 1 2                         2 . 2    （ ）+ × ÷ 4 5 5 5 5 99 99 99   174 初中数学新思维  七年级 ( 2 ) 因为是二次二项式，所以 m - 3 ≠ 0，m + 2 = 0，所以 m = -2 . 3.解析：因为多项式中不含x的偶次方，所以m + 1 = 0，n - 2 = 0，解得m = -1，n = 2， 所以 m n2 2+ = ( -1 ) × ( -1 ) + 2×2 = 1 + 4 = 5. 4. 解析：因为 2 10x xy2 + = ，所以 4 2 20x xy2 + = ①；因为 3 2 6y xy2 + = ，所以 9 6 18y xy2 + = ② . ① + ②得 4 8 9x xy y2 2+ + = 20 + 18 = 38 . 5. 解析：将错就错，A + 2B = A + 2× ( 3 2) 2 6 4 9 2 7x x A x x x x2 2 2+ − = + + − = − + ， 所以 A = 9 2 7 (2 6 4) 7 8 11x x x x x x2 2 2− + − + − = − + . 正确的结果是 2A + B = 2 × (7 8 11) 3 2 14 16 22 3x x x x x x x x2 2 2 2− + + + − = − + + + − 2 15 13 20= − +x x2 . 【第12 讲】 1. 解析：由题意得 3x y3 4n 与 6x y3 m 是同类项，所以 m=4n . 2. 解析：因为多项式中不含三次项，因此把多项式合并同类项得 (5 2 3)a x− + +3 (10 ) 3 7a b x y x y+ − + +2 ；又因 5a - 2 + 3 = 0，10a + b = 0， 所以 a = − 1 5 ， b = 2 ，所以 5a + b = 5×      − 1 5 + 2 = 1 . 3. 解析：原式 = − − + − + = − − −5 2 3 4 2 4abc a b abc ab a b abc a b ab2 2 2 2 2 ， 将 a = -2，b = -1，c = 3 代入得 − − −2 4abc a b ab2 2 = -2× ( -2 )× ( -1 )×3 - ( -2 )× ( -2 )× ( -1 )-4× ( -2 )× ( -1 )× ( -1 )= -12 + 4 + 8 = 0 . 4. 解析：由题意得 A - B = (5 1) (3 2) 2 (6 5 2 1)m x n xy x y x xy x+ + + − + − + − −2 2 = (5 1) (3 2) 2 6 5 2 1m x n xy x y x xy x+ + + − + − − + +2 2 = (5 5) (3 3) 1m x n xy y− + − + +2 因为结果的取值与 x 无关，所以 5m - 5 = 0，3n - 3 = 0，所以 m = 1，n = 1， 所以 ( 1) ( )− ⋅ − + − −m n m+   m n n 3 =1×( -1 + 1 + 1 ) = 1 . 5. 解析：根据绝对值的性质得 a + 2 = 0，a + b + 5 = 0，所以 a = -2，b = -3 . 原式 = 3 2 2 4 4a b a b ab a b a ab ab a2 2 2 2 2− + − + − = + . 将 a = -2，b = -3 代入 ab a+ 4 2 得 ( -2 )×( -3 ) + 4×( -2 ) ×( -2 ) = 6 + 16 = 22 .