第8讲 数轴动点问题(2)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

26 初中数学新思维  七年级 【例题展示】 例题 1  如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上的一点，且 AB = 14， 动点 P 从点 A 出发，以每秒移动 5 个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运 动时间为 t (t > 0 ) 秒 . ( 1 ) 写出数轴上点 B 表示的数和点 P 表示的数 . ( 用含有 t 的代数式表示 ) ( 2 ) 动点 Q 从点 B 出发，以每秒移动 3 个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运 动，若点 P、Q 同时出发，则点 P 运动多少秒时能追上点 Q？ ( 3 ) 若 M 为 AP 的中点，N 为 PB 的中点，点 P 在运动的过程中，线段 MN 的 长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请画出图形，并求出线段 MN 的长度 . B A 80 第8讲 数轴动点问题（2） 27 例题2  已知数轴上点 A、C 对应的数分别为 a、c，且满足 a c+ + −7 12020 = 0， 点 B 对应点的数为 -3. ( 1 ) a = ，c = . ( 2 ) 若动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发向右运动，点 P 每秒移动 3 个单位长度， 点 Q 每秒移动 1 个单位长度，经过多长时间 P、Q 两点的距离为 4 3 ？ ( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下，若点 Q 运动到点 C 立刻原速返回，到达点 B 后停止运动， 点 P 运动至点 C 处又以原速返回，到达点 A 后又折返向 C 运动，当点 Q 停止运动， 点 P 随之停止运动．求在整个运动过程中，两点 P、Q 同时到达的点在数轴上表示 的数 . 【随堂练习】 1. 如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，点 B 是数轴上的一点，且 AB ＝ 12， 动点 P 从点 A 出发，以每秒移动 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动 时间为 t (t > 0 ) 秒． ( 1 ) 数轴上点 B 表示的数为 ，经 t 秒后点 P 表示的数为 ( 用含 t 的代数式表示 ) . B A 80 第 8 讲  数轴动点问题（2） 28 初中数学新思维  七年级 ( 2 ) 若在动点 P 运动的同时另一动点 Q 从点 B 也出发，并以每秒移动 4 个单位 长度的速度沿数轴向左匀速运动，经多长时间点 P 就能追上点 Q？ ( 3 ) 若 M 为 AP 的中点，N 为 BP 的中点，点 P 在运动的过程中，线段 MN 的 长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长． 2. 如图所示，在数轴上 A 点表示数 a，B 点表示数 b，C 点表示数 c，b 是最小的 正整数，且 a、b 满足 a c+ + − =3 ( 9) 02 . ( 1 ) a = ，b = ，c = ； ( 2 ) 若将数轴折叠，使得 A 点与 C 点重合，则点 B 与数 表示的点重合； ( 3 ) 若点 A、B 和 C 分别以每秒移动 2 个单位长度、1 个单位长度和 4 个单位长 度的速度在数轴上同时向左运动，假设 t 秒钟过后，A、B、C 三点中恰有一点为另 外两点的中点，求 t 的值 . A CB 170 初中数学新思维  七年级 【第 7讲】 1. 解析：( 1 ) A、B 相距 4 - ( -8 ) = 12 个单位长度 . 相遇前，PQ 共运动 12 - 2 = 10 个单位长度，运动时间 t 为 10÷ ( 2+1 ) = 10 3 秒；相遇后，PQ 共运动 12 + 2 = 14 个单位长度，运动时间 t 为 14÷ ( 2 + 1 ) = 14 3 秒 . ( 2 )经过 t时，OP表示距离 − +8 2t ，OQ表示的距离是4 + t .当2OP - OQ = 4时， 2 − +8 2t - ( 4 + t ) = 4，解得 t = 8 5 秒或 t = 8 秒，经检验，t = 8 不合题意，舍去 . 2. 解析：( 1 ) ① 当甲在 A、B 之间时：因为 A、B 之间相距 24 - 10 = 14，B、C 之间相距 10 + 10 = 20，40 - 14 - 20 = 6，所以需运动到距离 B 点 6 单位长度，14 - 6 = 8，8÷4 = 2 ( 秒 )； ② 当甲在 B、C 之间时：B、C 距离是 20，40 - 20 = 20，20 - 14 = 6，甲运动 了 14 + 6 = 20 个单位长度，20÷4 = 5 ( 秒 ) . ( 2 ) A、C 相距 24 + 10 = 34 个单位长度，经过时间 34÷ ( 4 + 6 ) = 3.4 ( 秒 ) 甲、 乙相遇，甲运动了 4×3.4 = 13.6 个单位长度；24 - 13.6 = 10.4，故甲、乙在原点左 边相遇，距离原点 10.4 . 3. 解析：( 1 ) A、B 相距 3 - ( -1 ) = 4，中点距离 B 点 4÷2 = 2，3 - 2 = 1，P 点对应的数是 1 . ( 2 ) 因为 A、B 相距 4，所以 P 点只能在 A 的左边或 B 的右边 . 当 P 点在 A 的左边时：-x - 1 + ( -x ) + 3 = 5，x = -1.5； 当 P 点在 B 的右边时：x - 3 + 1 + x = 5，x = 3.5 . ( 3 ) 当 P 点在 A、B 之间时：AP 长度是 5t + 1 - t = 4t + 1；PB 长度是 t + 3 -20t = 3-19t . 当 PA = PB 时，4t + 1 = 3 - 19t，解得 t = 23 2 ( 分钟 ) . 当 B 点追上 A 点时，PA = PB，此时 4÷ ( 20 - 5 ) = 15 4 ( 分钟 ) . 【第 8 讲】 1. 解析：( 1 ) 因为 AB = 12，12 - 8 = 4，所以 B 点表示 -4；t 秒后，点 P 表示的 数是 8 - 6t . ( 2 ) 一开始 P、Q 相距 12 个单位长度；P 速度是 6，Q 运动速度是 4，相当于追 及问题，每秒钟多运动 6 - 4 = 2 个单位长度，所以需要 12÷2 = 6 ( 秒 ) 追上 . 171 随堂练习参考答案 ( 3 ) 因为 A 表示数 8，P 表示数 8 - 6t，所以 AP 中点 M 表示的数是 ( 8 + 8 - 6t )÷ 2 = 8 - 3t； 因为 B 点表示数是 -4，所以 BP 的中点 N 表示的数是 ( - 4 + 8 - 6t )÷2 = 2 - 3t . 所以 MN 长度是 8 3 (2 3 ) 8 3 2 3 6− − − = − − + =t t t t ， 所以 MN 长度不会改变 . 2. 解析：( 1 ) 由题意得 a + 3 = 0，所以 a = -3；因为 c - 9 = 0，所以 c = 9；又 因 b 是最小的正整数，所以 b = 1 . ( 2 ) AC的中点表示的数是 ( -3 + 9 )÷ 2 = 3；B点到中点的距离是3 - 1 = 2，3 + 2 = 5，所以 B 点与数 5 表示的点重合 . ( 3 ) t 秒后，点 A、B、C 表示的数是 -3 - 2t、1 - t、9 - 4t . 由中点公式得：AB 中点为 ( -2 - 3t )÷2；AC 中点为 ( 6 - 6t )÷2；BC 中点为 ( 10 - 5t )÷2 . 当 B 为中点时：AB = BC，B 点表示的数等于 AC 的中点，即 1 - t = ( 6 - 6t )÷2， 此时 t = 1； 当 C 为中点时：AC = BC，C 点表示的数等于 AB 的中点，即 9 - 4t = ( -2 - 3t )÷2， 此时 t = 4； 当 A 为中点时：AC = AB，A 点表示的数等于 BC 的中点，即 -3 - 2t = ( 10 - 5t )÷2， 此时 t = 16 . 故 t 的值为 1 或 4 或 16 . 【第 9 讲】 1. 解析： ( 1 )                        − − − + − − +1 1 2 11 1 1 1 2 4 2 4 ( 2 ) 5 49 ( 9)− + − − − − − +( )      1 5 3 6 = − + − − = − − + − = − − + − = − 5 49 9 5 49 9 (5 49 9 53 1 2 . 1 5 3 6 ) 1 5 3 6       1 5 3 6 = − + − − = − − + − = −       1 4 1 1 2 1 1 1 1 1 2 4 . 1 1 1 1 2 4 2 4 2 1 1 2 4      