第7讲 数轴动点问题(1)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

23 【知识要点】 1. 数轴上两点间的距离：这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减 去左边的数的差 . 2. 如何表示运动过程中的数：一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的 数为 a - b；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a + b . ( 简单说成左减右加 ) 3. 中点公式：若数轴上点 A、B 表示的数分别为 a、b，M 为线段 AB 中点，则 M 点表示的数为 a b+ 2 . 【例题展示】 例题 1  已知数轴上 A、B 两点表示的数分别为 -8、20，点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，P 点运动速度为每秒 3 个单位长度，Q 点运动速度为每秒 1 个单位长 度，设运动时间为 t 秒 . ( 1 ) 若点 P 向右运动，Q 点向左运动，当 t 为何值时，P、Q 两点之间距离为 8？ ( 2 ) 若 P 点和 Q 点都向右运动，多少秒后，P、Q 两点之间距离为 8？ ( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下，另一动点 M 同时从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速 度向右运动，多少秒后，点 M 到点 P 和点 Q 的距离相等？ A -8 O B 20 第 7讲 数轴动点问题（1） 第 7 讲  数轴动点问题（1） 24 初中数学新思维  七年级 例题 2  如图，已知 A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为 -20，B 点对应 的数为 100. ( 1 ) 求 AB 中点 M 对应的数； ( 2 )现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以每秒移动6个单位长度的速度向左运动， 同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以每秒移动 4 个单位长度的速度向右运动， 若两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数； ( 3 ) 若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以每秒移动 6 个单位长度的速度向左运动，同 时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以每秒移动 4 个单位长度的速度也向左运动， 若两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数 . 【随堂练习】 1. 已知在数轴上有 A、B 两点，点 A 表示的数为 -8，点 B 表示的数为 4．动点 P 从数轴上点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时动点 Q 从点 B 出发， 以每秒移动 1个单位长度的速度运动，设运动时间为 t 秒 . ( 1 ) 若点 P 向右运动，点 Q 向左运动，多少秒后点 P 与 Q 相距 2 个单位长度？ ( 2 ) 若动点 P、Q 都向右运动，当点 P 与点 Q 重合时，P、Q 两点停止运动 . 当 t 为何值时，2OP - OQ = 4？ A B 100-20 A O B 4-8 25 2. 已知数轴上有 A、B、C 三点，分别代表 -24、-10、10，两只电子蚂蚁甲、 乙分别从 A、C 两点同时相向而行，甲以每秒移动 4 个单位长度的速度运动 . ( 1 ) 多少秒后，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位？ ( 2 ) 若乙以每秒移动 6 个单位长度的速度移动，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、 C 两点同时相向而行，甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ 3. 已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为 -1、3，点 P 为数轴上一动点，其对应 的数为 x. ( 1 ) 若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数 . ( 2 ) 数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求 出 x 的值；若不存在，请说明理由 . ( 3 ) 当点 P 以每分钟移动 1 个单位长度的速度从 0 向左运动时，点 A 以每分钟 移动 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟移动 20 个单位长度向左运动，它们同时 出发，几分钟后 P 点到点 A、点 B 的距离相等？ A B 0-24 C 甲 乙 10-10 A B 3-1 0 第 7 讲  数轴动点问题（1） 170 初中数学新思维  七年级 【第 7讲】 1. 解析：( 1 ) A、B 相距 4 - ( -8 ) = 12 个单位长度 . 相遇前，PQ 共运动 12 - 2 = 10 个单位长度，运动时间 t 为 10÷ ( 2+1 ) = 10 3 秒；相遇后，PQ 共运动 12 + 2 = 14 个单位长度，运动时间 t 为 14÷ ( 2 + 1 ) = 14 3 秒 . ( 2 )经过 t时，OP表示距离 − +8 2t ，OQ表示的距离是4 + t .当2OP - OQ = 4时， 2 − +8 2t - ( 4 + t ) = 4，解得 t = 8 5 秒或 t = 8 秒，经检验，t = 8 不合题意，舍去 . 2. 解析：( 1 ) ① 当甲在 A、B 之间时：因为 A、B 之间相距 24 - 10 = 14，B、C 之间相距 10 + 10 = 20，40 - 14 - 20 = 6，所以需运动到距离 B 点 6 单位长度，14 - 6 = 8，8÷4 = 2 ( 秒 )； ② 当甲在 B、C 之间时：B、C 距离是 20，40 - 20 = 20，20 - 14 = 6，甲运动 了 14 + 6 = 20 个单位长度，20÷4 = 5 ( 秒 ) . ( 2 ) A、C 相距 24 + 10 = 34 个单位长度，经过时间 34÷ ( 4 + 6 ) = 3.4 ( 秒 ) 甲、 乙相遇，甲运动了 4×3.4 = 13.6 个单位长度；24 - 13.6 = 10.4，故甲、乙在原点左 边相遇，距离原点 10.4 . 3. 解析：( 1 ) A、B 相距 3 - ( -1 ) = 4，中点距离 B 点 4÷2 = 2，3 - 2 = 1，P 点对应的数是 1 . ( 2 ) 因为 A、B 相距 4，所以 P 点只能在 A 的左边或 B 的右边 . 当 P 点在 A 的左边时：-x - 1 + ( -x ) + 3 = 5，x = -1.5； 当 P 点在 B 的右边时：x - 3 + 1 + x = 5，x = 3.5 . ( 3 ) 当 P 点在 A、B 之间时：AP 长度是 5t + 1 - t = 4t + 1；PB 长度是 t + 3 -20t = 3-19t . 当 PA = PB 时，4t + 1 = 3 - 19t，解得 t = 23 2 ( 分钟 ) . 当 B 点追上 A 点时，PA = PB，此时 4÷ ( 20 - 5 ) = 15 4 ( 分钟 ) . 【第 8 讲】 1. 解析：( 1 ) 因为 AB = 12，12 - 8 = 4，所以 B 点表示 -4；t 秒后，点 P 表示的 数是 8 - 6t . ( 2 ) 一开始 P、Q 相距 12 个单位长度；P 速度是 6，Q 运动速度是 4，相当于追 及问题，每秒钟多运动 6 - 4 = 2 个单位长度，所以需要 12÷2 = 6 ( 秒 ) 追上 .