第5讲 绝对值(3)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

17 模块一  零点分段法 零点分段法化简绝对值的步骤： ( 1 ) 求出所有式子的零点； ( 2 ) 将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； ( 3 ) 在分出的每一段中讨论原式的正负性，并将绝对值求出 . 【例题展示】 例题 1  化简下列各题 . ( 1 ) x x− + +1 1 ； ( 2 ) 2 2 4x x− − + ； ( 3 ) m m m+ − + −1 2 . 第5讲 绝对值（3） 第 5 讲  绝对值（3） 18 初中数学新思维  七年级 例题 2  解方程 . ( 1 ) x x− + + =1 2 5 ； ( 2 ) 5 6 6 5x x+ = − . 模块二  利用零点分段法，求最值问题 【例题展示】 例题 3  求 x x− − +1 4 1 的最大值 . 例题 4  若 2 4 5 1 3 4x x x+ − + − + 的值恒为常数，则此常数的值为多少？ 【随堂练习】 1. 化简下列各题 . ( 1 ) x x+ + +3 1 ； ( 2 ) 2 2 4x x− + + ； 19 ( 3 ) x x+ + −5 2 3 ； ( 4 ) x x x+ + − + +5 7 10 . 2. 解方程 . ( 1 ) x x x+ − − = +3 1 1 ； ( 2 ) x x− + − =1 5 4 . 3. 已知 y x x x= + + − − +2 6 1 4 1 ，求 y 的最大值 . 4. 已知 k x x x= + + − + −1 5 2 1 2 ，求 k 的最小值 . 第 5 讲  绝对值（3） 167 随堂练习参考答案 2. 解析：( 1 ) 因为 a 距离原点最远，而且 a 又是负数，小于 -1；b 是正数，且 小于 1，所以 -1 < -b < 0 < -a； ( 2 ) a a b b a+ + − + −2 1 = -a + [-2× ( a + b - 1 )] + b - a = -4a - b + 2 . 3. 解析：因为 c 大于 b，2c 还是大于 b；a 到原点的距离大于 b 到原点的距离， a+b 小于 0；2a - c 还是小于 0，所以原式 = 2c - b - a - b - [- ( 2a - c )] = -a - 2b + 2c + 2a - c = a - 2b + c . 4. 解析：由数轴得 a - b < 0，b - c < 0，c - a > 0，ab 是正数，ac 是负数，ab - ac > 0 . 所以原式 = b a c b c a ab ac a b b c c a ab ac − − − − − − − − − + + = − + + + =1 1 1 1 2 . 5. 解析：分类讨论 . ( 1 ) 当两个是正数，一个是负数时：原式有 2 个 -1，1 个 1，所以 -1 + ( -1 ) + 1 = -1；( 2 ) 当两个是负数，一个是正数时：原式有 2 个 -1，1 个 1，所以 -1 + ( -1 ) + 1 = -1 . 6. 解析：分类讨论 . ( 1 ) 都是正数时：原式 = 1 + 1 - 1 = 1； ( 2 ) 都是负数时：原式 = -1 + ( -1 )-1 = -3 . 所以原式 = 1 或 -3 . 7. 解析：由题意得 x = + + = + + − − − a b c a b c a b c a b c . 当 a、b、c 中，两个是正数， 一个是负数时，x = 1；当 a、b、c 中，两个是负数，一个是正数时，x = 1 . 故无论 a、 b、c 符号怎样，x = 1 . 所以原式 = 1 - 99×1 + 2000 = 1902 . 8. 解析：因为 2 < x < 5，所以原式 = 5 2 x x x − − − − x x x 5 2 − + = − − − + =1 ( 1) 1 1 . 【第5讲】 1. 解析：( 1 ) ① 当 x < -3 时，原式 = -x - 3+ ( -x - 1 ) = -2x - 4； ② 当 -3 ≤ x ≤ -1 时，原式 = x + 3 + ( -x - 1 ) = 2； 168 初中数学新思维  七年级 ③ 当 x > -1 时，原式 = x + 3 + x + 1 = 2x+4 . ( 2 ) ① 当 x < -4 时，原式 = 2 ( -x + 2 ) + ( -x - 4 ) = -2x + 4 - x - 4 = -3x； ② 当 -4 ≤ x ≤ 2 时，原式 =2 ( -x+2 ) + x + 4 = -2x + 4 + x + 4 = -x + 8； ③ 当 x > 2 时，原式 = 2 ( x - 2 ) + x + 4 = 2x - 4 + x + 4 = 3x . ( 3 ) ① 当 x < -5 时，原式 = -x - 5+ ( -2x + 3 ) = -x - 5 - 2x + 3 = -3x - 2； ② 当 -5 ≤ x ≤ 2 3 时，原式 = x + 5 + ( -2x + 3 ) = x + 5 - 2x + 3 = -x + 8； ③ 当 x > 2 3 时，原式 = x + 5 + 2x - 3 = 3x + 2 . ( 4 ) ① 当 x < -10 时，原式 = -x - 5+ ( -x + 7 ) + ( -x - 10 ) = -x - 5- x + 7 - x - 10 = -3x -8； ② 当 -10 ≤ x ≤ -5 时，原式 = -x - 5+ ( -x + 7 ) + x + 10 = -2x + 2 + x + 10 = -x + 12； ③ 当 -5 < x ≤ 7 时，原式 = x + 5 + ( -x + 7 ) + x + 10 = x + 5 - x + 7 + x + 10 = x + 22； ④ 当 x > 7 时，原式 = x + 5 + x - 7 + x + 10 = 3x + 8 . 2. 解析：( 1 ) ①当 x < -3 时，-x - 3 - ( -x + 1 ) = x + 1，解得 x = -5； ②当 -3 ≤ x ≤ 1 时，x + 3 - ( -x + 1 ) = x + 1，解得 x = -1； ③当 x > 1 时，x + 3 - ( x - 1 ) = x + 1，解得 x = 3 . ( 2 ) ①当 x < 1 时，1 - x + ( -x + 5 ) = 4，解得 x = 1； ②当 1 ≤ x ≤ 5 时，x - 1+ ( -x + 5 ) = 4，恒成立； ③当 x > 5 时，x - 1 + x - 5 = 4，解得 x = 5 . 3. 解析：( 1 ) 当 x ≤ -3 时，原式 = -2x - 6 + 1 - x + 4 ( x + 1 ) = -2x - 6 + 1 - x + 4x + 4 = x - 1，当 x = -3 时，y 取最大值 -3 - 1 = -4； ( 2 ) 当 -3 ≤ x ≤ -1 时，原式 = 2x + 6 + 1 - x + 4 ( x + 1 ) = 2x + 6 + 1 - x + 4x + 4 = 5x + 11，当 x = -1 时，y 取最大值 5× ( -1 ) +11=6； ( 3 ) 当 -1 ≤ x ≤ 1 时，原式 = 2x + 6 + 1 - x - 4 ( x + 1 ) = 2x + 6 + 1 - x - 4x - 4 = -3x + 3，当 x = -1 时，y 取最大值 -3× ( -1 ) + 3 = 6； ( 4 )当x ≥ 1时，原式= 2x + 6 + x - 1 - 4 ( x + 1 ) = 2x + 6 + x - 1 - 4x - 4 = -x + 1， 当 x = 1 时，y 取最大值 -1 + 1 = 0 . 综上所述，当 x = -1 时，y 取最大值 6 . 169 随堂练习参考答案 4.解析：( 1 )当x ≤ -1时，原式= − − + − + − = − − + − + −x x x x x x1 5 2 1 5 1 2     1 2 = -4x + 5，当 x = -1 时，取最小值 k = -1× ( -4 ) + 5 = 9； ( 2 ) 当 -1 ≤ x ≤ 1 2 时，原式 = x x x x x+ + − + − = + − = −1 5 2 6 1 2 7 2     1 2 ，当 x = 1 2 时，取最小值 k = 7 - 2× 1 2 = 6； ( 3 ) 当 1 2 ≤ x ≤ 5 时，原式 = x + 1 + 5 - x + 2      x − 1 2 = 6 + 2x - 1 = 5 + 2x，当 x = 1 2 时，取最小值 k = 5 + 2× 1 2 = 6； ( 4 ) 当 x ≥ 5 时，原式 = x + 1 + x - 5 + 2      x − 1 2 = 4x - 5，当 x = 5 时，取最小 值 k = 4×5 - 5 = 15 . 综上所述当 x = 1 2 时，k 取最小值 6 . 【第 6讲】 1. ( 1 ) 7 ； ( 2 ) 2 或 4 ； ( 3 ) 1 ； ( 4 ) 4 ，   -1 ≤ x ≤ 3  . 2. 解析： a a a a− + − = − + −2 3 2 3 ，根据绝对值的几何意义可知，该式表示 a 到 2 的距离与到 3 的距离的和的最大值，所以当 a=0 时，取最大值 5 . 3. 解析：根据绝对值的几何意义，x 到 -4 的距离与到 9 的距离和是 13，x 取值 范围是 -4 ≤ x ≤ 9； x x− + −4 8 取最大值时，x 离 4 与 8 越远就越大，所以当 x = -4 时，取最大值，为 20 . 4. 解析：根据绝对值的几何意义可知，当 x 在 -2 与 3 之间时， x x− + +3 2 取 最小值，即 a = 5；当 x 在 -2 的点左边时， x x− − +3 2 取最大值，即 b = 5 . 所以 a + b = 5 + 5 =10 . 5. 解析：根据绝对值的几何意义可知，当是奇点时，一共有偶数段，即 98 段，取 中间时有最小值，所以 x = 50 时，最小值为 49 + 48 + 47 + 46 +…+ 1 + 0 + 1 + 2+…+ 47 + 48 + 49 = 2450 .