第3讲 绝对值(1)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

9 【知识要点】 1. 去掉绝对值符号时，要分三种情况： a a= =     0 ( 0) a a − < a a ( 0) ( 0) > ； ； . 2. 绝对值的几何意义： 从数轴上看， a 表示数 a 到原点的距离，即 a 表示的是一个长度，是非负数 . a b− 表示数轴上数 a 与数 b 两点间的距离 . 3. 绝对值的性质： ( 1 ) a b a b⋅ = ⋅ ； ( 2 ) a b b = ≠ a ( 0)b ； ( 3 ) a b a b+ ≤ + ； ( 4 ) a b a b− ≥ − . 模块一  绝对值：“0 + 0 = 0”模型 【例题展示】 例题 1  已知 ab − + =2 0(b +1)2 . ( 1 ) 求 a，b 的值 . ( 2 ) 求 b2022 +      a 2 2022 的值 . 第3讲 绝对值（1） 第 3 讲  绝对值（1） 10 初中数学新思维  七年级 例题 2  已知 a b− + + =1 2 0 ，求下列式子的值 . ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b+ + + + + + + + + +2001 2000 1999 2 . 例题 3  已知 a ab− + − =1 2 02 ，求下面代数式的值 . ab a b a b a b 1 1 1 1 + + + + ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2002)( 2002)+ + + + + +  . 例题4  若a，b，c为整数，且 a b c a− + − =2023 2023 1，计算 c a a b b c− + − + − 的值 . 模块二  绝对值的性质 ( 1 ) a、b 同号， a b a b+ = + . ( 2 ) 若 a > b，则 a b a b− = − ；若 a < b，则 a b b a− = − . 【例题展示】 例题 5  已知 a = 5 ， b = 3 ，且 a b a b+ = + ，求 a+b 的值 . 例题 6  若 x = 3 ， y = 2 ，且 x y y x− = − ，求 x + y 的值 . 11 例题 7  若 a = 19 ， b = 97 ，且 a b a b+ ≠ + ，求 a - b 的值 . 【随堂练习】 1. 已知 ( 5) 6 0x y+ + + − =2 y2 ，则代数式 y2 − + +1 5 xy x x3 2 = . 2. 已知 ab − 2 与 a −1 互为相反数，求代数式的值 . ab a b a b a b 1 1 1 1 + + + + ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2022)( 2022)+ + + + + +  . 3. 已知 a 与 b 互为相反数，并且 a b− = 4 5 ，则代数式 a a ab b 2 − + + +ab 1 = . 4. 如果 m n n m− = − ，且 m = 4 ， n = 3 ，则 ( )m n+ 2 = . 第 3 讲  绝对值（1） 12 初中数学新思维  七年级 5. 若 a，b，c 为整数，且 a b c a− + − =99 79 1 ，计算 c a a b b c− + − + − 的值 . 6. 已知 a = 1 ， b = 2 ， c = 3 ，且 a > b > c，那么 ( )a b c+ − 2 = . 7. 如果 x = 3 ， y = 2 ，且 x y x y− ≠ − ，求 x + y 的值 . 8. 已知正整数 a、b 满足： b b− + − =2 2 0 ， a b a b− + − = 0 ，且 a ≠ b，则 ab 的值是 . 165 随堂练习参考答案 4. 解析：由题意判断：N 点在原点的右边，即 N 点表示的数是正数 . ( 1 ) 若 N 点在 0 ~ 30 之间，30÷ ( 1+4 )×4 = 24； ( 2 ) 若 N 点在 30 右边，30÷( 4 - 1 ) × 4 = 40 . 所以 N 点表示 24 或 40 . 5. 解析：因为到原点距离相等，2022÷2 = 1011，P 点可以是正数，也可以是负 数，所以 P 点表示的数是 1011 或 -1011 . 6. 解析：( 1 ) 公司位置为原点：-25 + 15 + ( -16 ) + 22 + ( -17 ) + ( -7 )= -28， 在公司的西边；距离公司 28 千米 . ( 2 ) 一共走的路程是：25 + 15 + 16 + 22 + 17 + 7 + 28 = 130 千米；0.15×130 = 19.5 ( 升 ) . 7. 解析：第一次点 B 对应的数是 1，以后每次点 B 由数轴翻转到数轴上时对应的 数要增加 3， ( 2020 - 1 )÷3 = 673，1 + 3×673 = 2020，点 B 表示 2020 . 8. 解析：( 1 ) 图略 . 由数轴得：b 是负数，a 是正数，b 到原点距离较长；所以有 b < -a< a < -b . ( 2 )16÷2 = 8，所以 b 距离原点长度是 8，b 表示 -8 . ( 3 )b 的相反数表示 8，因为 a 距离原点较近，所以 a 表示的数是 8 - 4 = 4 . 【第 3 讲】 1. 解析：由题意得 x + 5 = 0， y y2 + − =6 0 ，解得 x = -5， y2 + =y 6 ， 原式 = y y2 3 2− × − × + − + −1 5 ( 5) ( 5) ( 5) = y y2 + − +125 25 = 6 - 125 + 25 = -94 . 2. 解析：由题意得 ab a− + − =2 1 0 ，所以 ab - 2 = 0，a - 1 = 0，解得 a = 1， b=2 . 原式 = 1 2 2 3 3 4 2023 2024× × × × 1 1 1 1 + + + + = 1− + − + − + + −1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024  = 1− 2024 1 = 2024 2023 . 166 初中数学新思维  七年级 3. 解析：因为 a 与 b 互为相反数，所以 a + b = 0 . 分类讨论 a 和 b 的大小： ( 1 ) 当 a > b 时， a b− = 4 5 ， a = 2 5 ， b = − 2 5 ，原式 = 2 2 2 2 5 5 5 5             − × − + − 2 2 2 5 5 5 2 + × − +             1 = =25 1 25 4 4 ； ( 2 ) 当 a < b 时，结果相同 . 4. 解析：由 m n n m− = − 得 m ≤ n，所以 m = -4，n = ±3 . 分类讨论： ( 1 ) 当 n = 3 时，原式 = ( 4 3) 1− + =2 ；( 2 ) 当 n = -3 时，原式 = [− + − =4 ( 3) 49]2 . 5. 解析：a、b、c 为整数，所以 a - b 为整数，c - a 为整数，所以 0 + 1 = 1， 1 + 0 = 1 . ( 1 ) 当 a b− = 0 ， c a− = 1 时，得 b c− = 1 ，原式 = 1 + 0 + 1 = 2； ( 2 ) 当 a b− = 1 ， c a− = 0 时，得 b c− = 1 ，原式 = 0 + 1 + 1 = 2 . 6. 解析：由题意得 a = ±1，b = -2，c = -3 . ( 1 ) 当 a = 1，b = -2，c = -3 时，原式 = 4； ( 2 ) 当 a = -1，b = -2，c = -3 时，原式 = 0. 所以 ( a + b - c )2 = 4 或 ( a + b - c )2 = 0 . 7. 解析：由 x y x y− ≠ − 得 x < y，所以 x = -3，y = ±2 . ( 1 ) 当 x = -3，y = 2 时，x + y = -3 + 2 = -1； ( 2 ) 当 x = -3，y = -2 时，x + y = -3 - 2= -5. 所以 x + y 的值为 -1 或 -5 . 8. 解析：因为 b b− + − =2 2 0 ，所以 b b− = −2 2 ，b ≤ 2，因为 a、b 为正整 数，所以 b = 1或 b = 2 .因为 a b a b− + − = 0 ，所以 a b b a− = − ，a < b .所以 a = 1， b = 2，ab = 1×2 = 2 . 【第 4讲】 1. 解析：由 x − − =1 2 1 0 ，得 x = 2 3 或 x = − 1 2 ，将 x 代入到原式中，解出 m 的 值，m = 10 或 m = 2 5 .