第36讲 长方体与正方体(一)-【小学数学新思维】六年级全国通用版

127 第 36 讲  长方体与正方体（一） 【知识要点】 【例题精讲】 【例题 1】 （1）一个正方体棱长扩大 3 倍，棱长和扩大（ ）倍，表面积扩大 （ ）倍，体积扩大（ ）倍。 （2）一个长方体的底面周长是 28 厘米，高是 10 厘米，这个长方体棱长总和是 （ ）厘米。 长方体与正方体 长方体 正方体 6 个面，12 条棱，对面相等 棱长和（4× 长 + 4× 高 + 4× 宽） 体积（长 × 宽 × 高，底面积 × 高） 6 个面，每面都是正方形 棱长和（棱长 ×12） 体积（棱长 × 棱长 × 棱长） 第 36 讲  长方体与正方体（一） 128 小学数学新思维  六年级 【例题 2】（1）有一个长方体纸盒，底面是正方形，如果把长方体侧面展开， 恰好是一个边长 36 厘米的正方形，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【解析】由题意可知，长 = 宽 = 1 4 高。 （2）一个房间长 6 米，宽 3.5 米，高 3 米，四周门窗面积 8 平方米。现在要把这 个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷面积是（ ）平方米。如果每平方米需要水泥 4 千 克，一共要水泥（ ）千克。 【解析】注意地面不刷水泥，要减去门窗面积。 【例题 3】（1）一个正方体的表面积是 120 平方厘米，如果把这个正方体平均 分成 2 个长方体，每个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【解析】正方体一个面的面积是 120÷6=20（平方厘米），平均分成 2 个长方体时 表面积也平分，为 120÷2=60（平方厘米），同时每个长方体多出一个面，表面积为 20 平方厘米，每个长方体的表面积为 60+20=80（平方厘米）。 129 （2）把 2 个相同的正方体拼成 1 个长方体，表面积减少了 40 平方厘米，原来每 个正方体的表面积是（ ）平方厘米，拼成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【解析】拼成长方体，减少 2 个面，一个面的面积为 40÷2=20（平方厘米）。正方 体的表面积为 20×6=120（平方厘米），长方体的表面积为 120×2-40=200（平方厘米）。 【例题 4】把一个长 10 厘米、宽 9 厘米、高 8 厘米的长方体，截成两个长方 体，使这两个长方体的表面积之和最大，最大表面积之和是（ ）平方厘米。 【解析】截一下会多出 2 个面，要使表面积最大，截面的面积要最大，所以多出 的 2 个面的面积是 10×9×2=180（平方厘米）。再求出表面积。 【例题 5】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方 体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）两个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？ 【解析】三个面都有红色的就是正方体的 8 个顶点处，两个面都有红色的小正方 体在棱长上，一个面有红色的在每个面的中心处。 第 36 讲  长方体与正方体（一） 130 小学数学新思维  六年级 【随堂练习】 1. 把一个长 6 厘米、宽 5 厘米、高 4 厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面 积至少增加（ ）平方厘米，至多增加（ ）平方厘米。 2. 六年级的数学书长 20 厘米、宽 10 厘米、高 1 厘米，现在有 50 本数学书，需要 用牛皮纸打成一个包，至少需要牛皮纸多少平方厘米？ 3. 用两个长 5 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的长方体，拼成一个大长方体，大长方 体表面积最大是多少？ 4. 把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成 1 立方厘米的小正 方体，这些小正方体中，一面涂红色的、两面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都 没有涂色的各有多少个？ 290 小学数学新思维  六年级 3. 4×2=8（平方厘米） 8×2=16（平方厘米） 4+8+8+16=36（平方厘米） 4. 20÷2=10（平方厘米） （10-4）× 10 6 2 10 5 − = 2 （平方厘米） 20 6 4 2 7− − − =2 3 5 5 （平方厘米） 【第 36 讲答案】 1.（一刀增加两面）5×4×2=40（平方厘米） 6×5×2=60（平方厘米） 2.（20×10+20×50+10×50）×2=3400（平方厘米） 3. 拼成一个长 10 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的长方体，其表面积为（10×4+10× 2+4×2）×2=136（平方厘米）。 4. 切成 5 层、5 列、5 排的形状。一面涂红色的有（5-1-1）×（5-1-1）×6=54 （个），两面涂红色的有（5-1-1）×12=36（个），三面涂红色的有 8 个，没涂色的有 （5-1-1）×（5-1-1）×（5-1-1）=27（个）。 【第 37 讲答案】 1. 横截面面积为 2÷2=1（平方分米），这根木料原来的体积为 1×20=20（立方 分米）。 2. 32÷（4×4）=2（厘米），4+2=6（厘米），原长方体的表面积为（4×4+4×6+ 4×6）×2=128（平方厘米），原长方体的体积为 4×4×6=96（立方厘米）。 3. 增加的面积就是截几刀多出的面的面积：12÷2=6，6-1=5。横向切 5 刀， 多出 10 面；竖向切 5 刀，多出 10 面；水平切 5 刀，多出 10 面。增加的表面积为 12×12×30=4320（平方厘米）。