第21讲 工程问题六大类(一)-【小学数学新思维】六年级全国通用版

70 小学数学新思维  六年级 第 21 讲  工程问题六大类（一） 【知识要点】  定义：工程问题是指用分数来解答有关工作量、工作时间和工作效率之间相互关 系的问题。 工作量：一般看成单位“1”。 工作效率：单位时间内完成的工作量。 三个基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 【例题精讲】 【例题 1】某工程甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，他们合作多少天 可完成工程的 5 4 ？ 【解析】根据题意，甲、乙的工作效率分别是 20 1 、 30 1 ，那么合作的效率是 20 30 12 1 1 1 + = 。合作的工作时间 = 工作量 ÷ 合作效率，也就是 5 12 4 1 ÷ = 9.6 （天）。 工程问题 普通工程问题 工程问题分类 找工程流程 再找部分工作量 普通工程问题 组合工程问题 周期工程问题 特殊工程问题 71 【例题 2】一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下 的乙队单独又挖了 24 天才完成。这条水渠由甲队单独挖需要多少天完成？ 【解析】合作的效率是 30 1 ，合作 12 天的工作量是 30 5 1 2 × =12 ，剩下的工作量就是 5 3 ，乙队的工作效率是 5 40 3 1 ÷ =24 ，那么甲队的工作效率就是 30 40 120 1 1 1 − = ，甲队单 独挖的时间就可以求出来。 【例题 3】有一本书，甲、乙两人合作打印要 18 小时才能完成。现由甲先打 印 12 小时，乙再加入，两人合作，又用了 10 小时才完成所有任务。如果甲单独打印， 要多少小时能完成？ 【解析】合作的效率是 18 1 ，后来合作 10 小时的工作量是 18 9 1 5 × =10 ，那么甲打印 12 小时的工作量是 1− = 9 9 5 4 ，甲的效率是 9 27 4 1 ÷ =12 ，所以甲单独打印的时间就可以 求出来。 【例题 4】蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙单独灌满一池水依次 需要 10 时、12 时、15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故被关闭，结果到 下午 2 点水池被灌满。甲管在何时被关闭？ 【解析】甲、乙、丙的效率分别是 10 1 、 12 1 、 15 1 ，从 8 点到下午 2 点，时间是 6 第 21 讲  工程问题六大类（一） 72 小学数学新思维  六年级 小时，乙、丙没有停止工作，所以乙、丙的工作量是 12 15 10 1 1 9 × + × =6 6 ，所以甲的工 作量是 10 1 ，甲的工作时间是 1 小时，即甲管 9 点被关闭。 【随堂练习】 1. 一条路，甲、乙两队合作需 10 天完成，甲队单独做 30 天就可以完成。甲、乙 两队合作 4 天后，甲队因事被调走，剩下的由乙队完成。乙队还需多少天才能完成？ 2. 一项工程，甲单独做要 10 天，乙单独做要 20 天，现在由甲、乙两人合作 2 天， 余下的由乙独做，还要多少天可以完成全工程的一半？ 73 3. 小王和小张同时打一份稿件，5 小时打了这份稿件的 5 6 ，如果由小王单独打， 10 小时可以打完。如果由小张单独打，几小时可以打完？ 4. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和丙一个排水管，单独开甲管 6 小时可注满水 池，单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、 乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，打开丙管后几小时可注满水池？ 5. 一项工程，甲独做要 10 天，乙独做要 15 天，丙独做要 20 天。三人合作期间， 甲因病请假，工程 6 天完工，甲请了几天病假？ 第 21 讲  工程问题六大类（一） 282 小学数学新思维  六年级 4. 2∶5=8∶20 1∶3=7∶21 （8+7）∶（20+21）=15∶41 【第 20 讲答案】 1. 小明速度：(1 ) 1+ ÷ =1 6 5 5 小芳速度：1 (1 )÷ + =1 8 8 9 速度比：6 8 5 9 : 27 : 20= 2. 甲、乙、丙每分钟加工的零件数比：1 1 1 3 3.5 4 : : 28 : 24 : 21= 甲应加工个数：1825 700× = 28 24 21+ + 28 （个） 乙应加工个数：1825 600× = 28 24 21+ + 24 （个） 丙应加工个数：1825-700-600=525（个） 3. 女教师人数不变，原来男教师人数占女教师人数的 7 5÷ = 7 5 ，后来男教师人 数占女教师人数的 3 2÷ = 2 3 。女教师人数：2 ( ) 20÷ − = 2 5 3 7 （人） 男教师人数： 20 28× =7 5 （人） 4. 时间相等时，甲、乙两车的速度比等于路程比。当乙车行 48 千米时，甲车行的 路程：48÷4×5=60（千米） 全程长度：60 150÷ =2 5 （千米） 【第 21 讲答案】 1. 1- 10 1 ×4= 5 3 10 1 - 30 1 = 15 1 5 3 ÷ 15 1 =9（天） 2. [ ( ) 2] 41 1 1 1 2 10 20 20 − + × ÷ = （天） 3. 6 5 ÷5= 1 6 （时） 1 ( ) 15÷ − =1 1 6 10 （时） 283 随堂练习参考答案 4. 1 ( ) 2− + × =1 1 5 6 8 12 12 6 8 9 13 5 1 1 1 30 ÷ + − =( ) （时） 5. 1 ( ) 6− + × = 15 20 10 1 1 3 10 10 3 1 ÷ = 3（天） 6-3=3（天） 【第 22 讲答案】 1. 1 ( ) 4− + × = 15 12 5 1 1 2 2 1 5 20 ÷ =8 1 20÷ = 20 1 （天） 2. 30 15 30 7 1 1 − × =3 30 60 1 1 ÷ =2 15 60 20 1 1 1 − = 1 20÷ = 20 1 （天） 3. 1 ( )÷ + = 12 15 3 1 1 20 （时） 12 3 15 3 9 1 20 1 20 1 × − × = 20 180÷ =1 9 （个） 4. ( 2) ( ) 3.3 4 10 10 15 3 1 1 1 − × ÷ + = （小时） 5.把 2小时的工作量看作一个循环，先求出循环的次数。1÷（ 12 1 + 18 1 ）= 36 5 >7（次） 1-（ 12 1 + 18 1 ）×7= 36 1 36 12 3 1 1 1 ÷ = （小时） 2×7+ 1 1 3 3 = 14 （小时） 【第 23 讲答案】 1. 6×4=24（小时） 8×5=40（小时） 1 ( ) 15÷ + = 24 40 1 1 （小时） 15÷2= 7.5（小时） 2. 12 2 1 1 × =6 2 1 1 3 2 6 − = 1 1 6 12 ÷ − =(8 6) 1 12÷ = 12 1 （天） 3. 甲 15 天的工作量 = 乙 12 天的工作量，即甲 5 天的工作量 = 乙 4 天的工作量。