精品解析：云南省临沧地区中学2026届高三上学期入学模拟检测数学试题

2026届高三入学模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】，在复平面对应点，在第四象限， 故选：D. 【点睛】 2. 在空间中，与是不重合的两个平面，直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线、线面关系结合充分条件、必要条件的定义分两方面说明即可. 【详解】因为直线平面，若，则或，所以存在，使得， 因为直线平面，，所以， 又因为，所以； 若直线平面，，则或，若直线平面，则不足以说明， 比如让和与的交线平行（假设相交）且不在平面内，此时满足直线平面，平面， 但不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ） A. < B. = C. > D. 、关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案. 【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<， 故选：A. 4. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 120 C. 240 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】由正态分布的对称性，得，解得， 的展开式的通项公式为，， 的展开式的通项公式为，， 则的展开式的通项为， 由，得或， 所以的展开式中的系数为. 故选：D 5. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列 根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy， 当且仅当x=y时取“=”， 6. 已知抛物线E：，O为坐标原点，点Q在直线上，过点Q作E的两条切线，切点分别为A，B，若QA，QB分别交y轴于M，N两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线和直线相切的条件，设出直线方程，联立直线和抛物线方程，相切时只有一个交点，即，求出切线斜率的关系式，根据直线的截距，求出的值. 【详解】 由题意知点Q在准线上，所以两条切线斜率必存在，设点，直线的解析式为，即，可得， 直线的解析式为，即，可得. 联立直线和抛物线方程组得，消去得， 化简得， 由得，化简得， 根据对称性可知也有，即都是方程的根， 根据韦达定理得. ， 代入得. 故选：D 7. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，取中点，由棱锥体积求得面积，并得出为二面角的平面角，由面积求得此角，然后求出，由此知四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的对角线就是球的直径，计算可得球表面积． 【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面， ，所以， 又， ，， 又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角， 所以， 所以， 因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2， 此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为， 则，解得， 所以外接球的直径为，， 球表面积为． 故选：B． 　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　图2 8 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦、余弦公式进行恒等变换即可求解. 【详解】，，，， ， ， ， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量，下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义和运算律逐项分析即可. 【详解】A选项，，其中为的夹角， 由，可得恒成立，故A正确； B选项，由向量的加法法则可得：恒成立，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故B正确； C选项，根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立， 故不恒成立，故C错误； D选项，根据数量积的运算律可得：恒成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 当时，若在上单调递减，则 C. 当时，若有3个零点，则的取值范围为 D. 若不等式的解集为，且，则图象的对称中心为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极小值点定义，确定单调性判断A；根据单调性则在上恒成立，判断B；根据零点和单调性，结合极小值确定C；根据对称中心定义，判断D. 【详解】函数，导数为，开口向下， 对于A，若是的极小值点，则导数在左侧为负，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，，导数为， 若在上单调递减，则在上恒成立， 所以，解得，故B错误； 对于C，当时，，， 令，则或， 若有3个零点， 当时，即时，不合题意； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，则，解得，故C正确； 对于D， ，不等式的解集为，且， 则的根为或， 则，则， 设对称中心，则， 则，解得， 所以对称中心为，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合至多有一个元素，则实数的取值集合是______. 【答案】或 【解析】 【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解的性质求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，此时方程至多有一个解，即集合至多有一个元素； ∴，或，即实数的取值集合是或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查了已知集合元素的个数求参数问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. 13. 已知数列、中，，，且，，设数列、的前n项和分别为和，若数列是等差数列.则_______；________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知求的公差，再写出其通项公式和前n项和，再应用分类讨论及累加法，由分组求和、等差数列前n项和公式求. 【详解】由题设，即，又数列是等差数列， 所以其公差，故，则， 所以， 故， 当为奇数，则 ； 当为偶数，则 ； 综上，. 故答案：， 14. 在长方体中，，分别是的中点，记平面截长方体所得两个几何体的体积分别为、，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点的截面即为五边形 ， 在长方体中，， 因为点，分别是，的中点 所以，所以， 因为， 所以 则过点的截面下方体积为： ， ∴另一部分体积为， ∴. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可. （2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴由余弦定理得：，即：， 由正弦定理得：， ∴， 整理得：，即：， 又∵， ∴，即：. 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵，，， ∴由正弦定理得： ， 又∵， ∴， 令，则，， ∵对称轴为， ∴在上单调递增， 当时，；当时，， ∴，即：的范围为. 16. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲的总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜概率，只须计算出比赛结束后甲得分是10分的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲的得分的取值为10的概率为： ， （ⅱ）设“比赛结束后甲总分是10分”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， 由（i）可得， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 17. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可； （3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； 【小问2详解】 ∵，，∴即为二面角的平面角， ∴， 又，平面ADE， 所以平面ADE，作于O，因为平面ADE， 所以，又，平面CDEF， 所以平面CDEF，连结CO， 所以直线AC与平面CDEF所成角为， ，，所以． 直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得 ，，，所以． 18. 已知函数，. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由于在上单调递增，所以在上恒成立，通过构造函数转化为求最值问题； （2）将的证明转化成 的证明，通过构造，，即可证明，从而原命题得证. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 即在上恒成立. 令函数，则. 当时，， 所以在单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 要证，， 只需证，. 因为， 所以，. 要证，， 只需证，， 即证，， 即证，. 令函数，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故. 令函数，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故. 所以， 所以，从而原命题得证. 【点睛】思路点精： （1）由函数单调性求参数取值范围，通常构造函数转化为求函数最值问题； （2）要证明不等式成立，可通过转化后，利用构造函数法，结合导数求最值，由此来证得不等式成立. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为． （1）求C的方程； （2）直线与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B． （ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程； （ⅱ）若点B与点重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算即可得出椭圆方程； （2）（i）设结合，向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解. 【小问1详解】 将点代入C的方程得：①， 设C的焦距为，则， 故，解得②， 又③，由①②③解得或， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题，，设，O为坐标原点， 因为A，B恰为弦MN的两个三等分点，所以, 则，即，解得，所以， 又，即，解得，所以 将点M，N的坐标代入C的方程得，解得， 因为，所以， 所以直线l的方程为． （ⅱ）由题直线l过点，所以， 与椭圆方程联立，得， ， 设，则， 所以 ， 又， 所以MN中点为， 所以MN的垂直平分线方程为， 令得，故， 所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：（2）（i）解题的关键点是应用向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三入学模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在空间中，与是不重合的两个平面，直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ） A. < B. = C. > D. 、关系不能确定 4. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 120 C. 240 D. 280 5. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知抛物线E：，O为坐标原点，点Q在直线上，过点Q作E的两条切线，切点分别为A，B，若QA，QB分别交y轴于M，N两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量，下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是极小值点，则在上单调递减 B. 当时，若在上单调递减，则 C. 当时，若有3个零点，则的取值范围为 D. 若不等式的解集为，且，则图象的对称中心为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合至多有一个元素，则实数的取值集合是______. 13. 已知数列、中，，，且，，设数列、的前n项和分别为和，若数列是等差数列.则_______；________. 14. 在长方体中，，分别是的中点，记平面截长方体所得两个几何体的体积分别为、，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）证明：； （2）求的取值范围. 16. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 17. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 18. 已知函数，. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，证明：. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为． （1）求C方程； （2）直线与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B． （ⅰ）若A，B恰为弦MN两个三等分点，求直线l的方程； （ⅱ）若点B与点重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$