第4章 图形的相似 单元过关测试 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第 1页（共 6页） 第 4 章 图形的相似（基础卷）单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝3，b＝2，c＝6，d的长是（ ） A．1 B．2 C．4 D．9 2．如图，a∥b∥c，AB：BC＝3：4，若 EF＝20，则 DE的长为（ ） A．15 B．30 C．35 D．40 3．已知 x：y：z＝2：3：4，那么 3�+2� � 的值是（ ） A．9 B．3 C．6 D．4 4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． �� �� = �� �� D． �� �� = �� �� 5．如果两个相似三角形的对应边之比是 1：4，那么它们的面积之比是（ ） A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：16 6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是（ ） 第 2页（共 6页） A． B． C． D． 7．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD高度的示意图，如果镜子 P与古城墙的距离 PD＝12米， 镜子 P与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C，小明的眼睛距地面的高度 AB＝1.2米，该古城墙的高度是（ ） A．6米 B．8米 C．9.6米 D．10.8米 8．如图，D、E分别是△ABC的边 AB、AC上的点，且 DE∥BC，BE、CD相交于点 O，若 S△DOE：S△EOC ＝1：3，S△ADE＝1，则 S 四边形DBCE＝（ ） A．8 B．9 C．12 D．15 9．如图所示，在▱ABCD中，E是 AD上一点，且 AE＝2DE，连接 AC，BE交于点 F，则 �� �� 的值为（ ） A． 1 3 B． 2 5 C． 2 3 D． 3 2 10．如图，在菱形 ABCD中，E为边 BC上一点，且 DE＝CD，BD与 AE交于点 F．下列结论：①AE＝ BD；②AE平分∠BED；③AD2＝AF•AE；④BE•BC＝BF•BD．其中正确结论的个数为（ ） 第 3页（共 6页） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．已知 � 3 = � 5 ，则 � �+� 的值为 ． 12．小明用两根小木棍 AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与 BD交于点 O，OA＝OB， OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径 AB的长为 cm． 13．如图，△ABC中，P是 AB上一点，连接 CP．请你补充一个条件 ，使△ABC ∽△ACP． 14．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为 3：2，△ABC的周长为 24，则△DEF的周长为 ． 15．在△ABC 中，已知 AB＝9，BC＝7，点 D 在边 AB 上，且 BD＝2，点 E 在边 BC 上，当 BE＝ 时，以 B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 第 4页（共 6页） 16．将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为 1，则 BC＝ ． 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，D为边 BC上的一点，分别过点 B，C作 AD的垂线， 垂足为 E，F．若�� = 2，则 DE的长为 ． 18．已知：AD 是△ABC 的中线，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 BE 延长线与 AC 的交点．则 �� �� 的值 为 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 8分)如图，已知 AB∥DC，点 E、F在线段 BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF； （2）若 BD＝8，DF＝2，求 EF的长． 第 5页（共 6页） 20．(本小题 8分)如图，在正方形 ABCD中，在 BC边上取中点 E，连接 DE，过点 E作 EF⊥ED交 AB于 点 G、交 AD延长线于点 F． （1）求证：△ECD∽△DEF； （2）若 CD＝4，求 AF的长． 21．(本小题 8分)如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若 AC＝3，AE＝8，求 AD． 22．(本小题 10分)完成下列各题． （1）课本中有一道练习题：如图 1，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC），边 BC＝120mm，高 AD ＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB，AC上，则这 个正方形零件的边长是 mm． 拓展应用 （2）若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边 EF：EG＝5：2，如图 2所示，求此时 EF的 长． 第 6页（共 6页） 23．(本小题 10分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边 AB上的中点，E是边 BC上的点，AE与 CD交于点 F，且 AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）联结 BF，如果点 E是 BC中点，求证：AE•BF＝2BE•CD． 24．(本小题 12分)小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正 方形 ABCD，点 E、F、G、H分别在边 AB、BC、CD、DA上，若 EG⊥FH，则 EG＝FH．”为了解决这 个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A作 AM∥HF交 BC于点 M，过点 B作 BN∥EG交 CD于点 N； 方案二：过点 A作 AM∥HF交 BC于点 M，过点 A作 AN∥EG交 CD于点 N．… （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设 AB＝2，BC＝3（如图（2）），试探究 EG、FH 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与 FH的夹角为 45°”，并假设正方形 ABCD的边长为 1， FH的长为 5 2 （如图（3）），试求 EG的长度． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D D C A B D 一．选择题（共10小题） 1．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，d的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．9 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，a＝3，b＝2，c＝6， 故． 故选：C． 2．如图，a∥b∥c，AB：BC＝3：4，若EF＝20，则DE的长为（　　） A．15 B．30 C．35 D．40 【解答】解：由平行线分线段成比例可得：， ∵AB：BC＝3：4，EF＝20， ∴． ∴DE＝15． 故选：A． 3．已知x：y：z＝2：3：4，那么的值是（　　） A．9 B．3 C．6 D．4 【解答】解：∵x：y：z＝2：3：4， ∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴3． 故选：B． 4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE， 故该三个选项不符合题意； 选项C中，不是夹这两个角的边， 所以△ABC和△ADE不相似， 故C选项符合题意， 故选：C． 5．如果两个相似三角形的对应边之比是1：4，那么它们的面积之比是（　　） A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：16 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4， ∴它们的面积的比是1：16， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B， ∴△DBE∽△ABC， 故A不符合题意； 如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C， ∴△FGC∽△ABC， 故B不符合题意； 如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACH∽△ABC， 故C不符合题意； 如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例， ∴△IBJ与△ABC不相似， 故D符合题意， 故选：D． 7．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，该古城墙的高度是（　　） A．6米 B．8米 C．9.6米 D．10.8米 【解答】解：由题意得：AB⊥BD，DC⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， 由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD， ∴△APB∽△CPD， ∴， ∵PD＝12米，BP＝1.5米，AB＝1.2米， ∴， 解得：CD＝9.6， ∴该古城墙的高度是9.6米， 故选：C． 8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，S△ADE＝1，则S四边形DBCE＝（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 【解答】解：∵S△DOE：S△EOC＝1：3， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝9， ∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝9﹣1＝8， 故选：A． 9．如图所示，在▱ABCD中，E是AD上一点，且AE＝2DE，连接AC，BE交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在▱ABCD中，E是AD上一点，且AE＝2DE， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴，△AEF∽△CBF， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，在菱形ABCD中，E为边BC上一点，且DE＝CD，BD与AE交于点F．下列结论：①AE＝BD；②AE平分∠BED；③AD2＝AF•AE；④BE•BC＝BF•BD．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∵DE＝CD， ∴DE＝AB， ∴四边形ABED是等腰梯形， ∴AE＝BD，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵DA＝DC＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴∠DEA＝∠AEB， ∴AE平分∠BED，故②正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB＝∠BDC，∠ADC＝∠ABE， ∵四边形ABED是等腰梯形， ∴∠ABE＝∠BED＝∠DC， ∵∠AED＝∠AEB， ∴∠ADF＝∠AED， ∵∠DAF＝∠DAE， ∴△ADF∽△AED， ∴， ∴AD2＝AF•AE，故③正确； ∵∠BEF＝∠BDC，∠EBF＝∠DBC， ∴△BEF∽△BDC， ∴， ∴BE•BC＝BF•BD，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．已知，则的值为 　　 ． 【解答】解：设k， ∴a＝3k，b＝5k， ∴， 故答案为：． 12．小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为　9　 cm． 【解答】解：∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOB和△DOC都是等腰三角形， ∵∠DOC＝∠BOA， ∴△AOB∽△DOC， ∵OB＝3OD， ∴， ∴3， ∴AB＝9， 故答案为：9． 13．如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP．请你补充一个条件　∠ACP＝∠B（答案不唯一）　 ，使△ABC∽△ACP． 【解答】解：∵△ABC中，P是AB上一点，连接CP．∠A＝∠A， ∴根据相似三角形的判定，还需有另一组角对应相等或者夹此角的两边对应成比例， ∴当∠ACP＝∠B或者∠APC＝∠ACB或者时，△ABC∽△ACP， 故答案为：∠ACP＝∠B（答案不唯一）． 14．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　16　 ． 【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：2， ∵△ABC的周长为24， ∴24：△DEF的周长＝3：2， ∴△DEF的周长＝16， 故答案为：16． 15．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　或　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 【解答】解：在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，如图， ∵∠B＝∠B， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与△ABC相似，则需满足或， ∴或， 解得：或； 故答案为：或． 16．将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝　8　 ． 【解答】解：如图所示： 由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，HF∥BC， ∴∠EFH＝∠B， ∴△EFH∽△EBP， ∴， ∴， 解得PB＝6， ∴BC＝PB+CP＝6+2＝8． 故答案为：8． 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，D为边BC上的一点，分别过点B，C作AD的垂线，垂足为E，F．若，则DE的长为 　　 ． 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵BE⊥AE，CF⊥AD， ∴∠E＝∠AFC＝∠CFD＝90°， 设DE＝x， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：， ∵∠E＝∠CFD＝90°，∠BDE＝∠CDF， ∴△BDE∽△CDF， ∴， ∴， ∴， ∵∠BAE+∠CAF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠BAE＝∠ACF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴， 在直角三角形ACF中，由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2， ∴， 解得， ∴DE的长为， 故答案为：． 18．已知：AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点．则的值为 　　 ． 【解答】解：如图，过点D作DH∥BF，交AC于H， 则， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝DB， ∴CH＝HF， ∵DH∥BF，点E是AD的中点， ∴AF＝HF， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 19．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF； （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴BE＝4， ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 20．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F． （1）求证：△ECD∽△DEF； （2）若CD＝4，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED， ∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD， ∴∠CED＝∠FDE， ∴△ECD∽△DEF； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4， ∵E为BC的中点， ∴CEBC＝2， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE2， ∵△ECD∽△DEF， ∴， ∴， 解得：DF＝10， ∵AD＝4， ∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6． 21．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若AC＝3，AE＝8，求AD． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°， ∴，∠BAC＝60°，∠BAE＝90°， ∴， ∴， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE． （2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝3，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝6， 在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°，AB＝6，AE＝8， ∴BE10， ∵△ACD∽△BCE， ∴， ∴AD． 22．完成下列各题． （1）课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC），边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是 　48　 mm． 拓展应用 （2）若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边EF：EG＝5：2，如图2所示，求此时EF的长． 【解答】解：（1）设正方形零件的边长为x mm， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD⊥BC， ∴四边形GEKD是矩形， ∴GE＝DK＝x mm，AK＝（80﹣x）mm， ∴，即， 解得x＝48． 故答案为48． （2）∵EF：EG＝5：2， ∴mm， ∴AK＝（80EF）mm， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD⊥BC， ∴，即， 解得EF＝75mm． 答：EF的长为72mm． 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）联结BF，如果点E是BC中点，求证：AE•BF＝2BE•CD． 【解答】证明：（1）∵AC2＝CE•CB， ∴． 又∵∠ACB＝∠ECA＝90°， ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC＝∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD． ∵∠CAD+∠ABC＝90°， ∴∠ACD+∠EAC＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∴AE⊥CD； （2）如图， ∵AE⊥CD， ∴∠EFC＝90°， ∴∠ACE＝∠EFC． 又∵∠AEC＝∠CEF， ∴△ECF∽△EAC， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴． ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△AEB， ∴， ∴AE•BF＝BE•AB， ∵， ∴AB＝2CD， ∴AE•BF＝2BE•CD． 24．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N； 方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度． 【解答】解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N， ∴AM＝HF，AN＝BC， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90° ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN ∴AM＝AN，即EG＝FH （2）结论：EG：FH＝3：2 证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N， ∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN． ∴△ABM∽△ADN． ， ∵AB＝2，BC＝AD＝3， ∴； （3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N， ∵． ∴在Rt△ABM中，BM． 将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB． ∵EG与FH的夹角为45°， ∴∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°， 从而△APM≌△ANM， ∴PM＝NM． 设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM． 在Rt△CMN中，解得． ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/13 15:18:39；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形的相似（基础卷）单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，d的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．9 2．如图，a∥b∥c，AB：BC＝3：4，若EF＝20，则DE的长为（　　） A．15 B．30 C．35 D．40 3．已知x：y：z＝2：3：4，那么的值是（　　） A．9 B．3 C．6 D．4 4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D． 5．如果两个相似三角形的对应边之比是1：4，那么它们的面积之比是（　　） A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：16 6．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，该古城墙的高度是（　　） A．6米 B．8米 C．9.6米 D．10.8米 8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，S△ADE＝1，则S四边形DBCE＝（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 9．如图所示，在▱ABCD中，E是AD上一点，且AE＝2DE，连接AC，BE交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，E为边BC上一点，且DE＝CD，BD与AE交于点F．下列结论：①AE＝BD；②AE平分∠BED；③AD2＝AF•AE；④BE•BC＝BF•BD．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知，则的值为 　 　 ． 12．小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为　 　 cm． 13．如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP．请你补充一个条件　 　 ，使△ABC∽△ACP． 14．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　 　 ． 15．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　 　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 16．将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，D为边BC上的一点，分别过点B，C作AD的垂线，垂足为E，F．若，则DE的长为 　 　 ． 18．已知：AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点．则的值为 　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF； （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 20．本小题分如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F． （1）求证：△ECD∽△DEF； （2）若CD＝4，求AF的长． 21．本小题分如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若AC＝3，AE＝8，求AD． 22．本小题分完成下列各题． （1）课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC），边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是 　 　 mm． 拓展应用 （2）若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边EF：EG＝5：2，如图2所示，求此时EF的长． 23．本小题分如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）联结BF，如果点E是BC中点，求证：AE•BF＝2BE•CD． 24．本小题分小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N； 方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$