江西省赣州市某中学2025年高一暑期线上测试数学试卷

高一数学学科暑期测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A D A D B AC ABD 题号 11 答案 AC 1．【详解】因为，则， 所以. 2．【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 3．【详解】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 4．【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得 因为，所以， 整理得，即， 因为，可得，所以， 则，所以. 5．【详解】，   . 6．【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知， 则，整理得． 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以，又，故，即的取值范围是. 7．【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和， 则圆锥的底面半径为， 过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：   此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则 作垂直地面于，则 因为，所以， 即即，所以. 8．【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得 9．【详解】由题意可作图如下：    对于A，在正六边形中，，则与不共线，故A正确； 对于B，在正六边形中，且， 则，故B错误； 对于C，设正六边形的内角大小为，则， 在中，，则，， 则，故C正确； 对于D，在中，，同理可得：， 由C选项易知，则， 则，故D错误. 10．【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 11．【详解】A选项，取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确； B选项，连接，由A知，，又，所以， 所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形， 因为，所以四边形为梯形，B错误； C选项，由B知，，故为直线与所成角或其补角， 连接，则， 所以为等边三角形，故， 异面直线与所成的角的大小为，C正确； D选项，连接， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 故当在线段上时，平面， 所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D错误 12． 【详解】因为，，则， 所以，在方向上的投影向量为 . 13. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 14． 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c 则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 又因为三棱锥是长方体切掉四个角， 故三棱锥， 三棱锥四个侧面是全等的， ， 设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积， 故， 则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为. 15．【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为． 16．【详解】（1）证明：连接，设，连接. 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以为的中点. 在中，因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）因为为正三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角，所以， 所以， 因为，为中点， 所以. 所以 . 17．【详解】（1） ， ，因为图象的相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则，所以的单调递增区间为； （2）由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是. 18．【详解】（1）由，且D是BC的中点，得，则，共线， 又为的重心，则，， 又为的外心，连接，，而是的中点，因此， 在中，，由余弦定理得， 所以.   （2）①由平面,平面，得,又， 平面，则平面，而平面，所以. ②由①知，，则为二面角的平面角， 而二面角的正切值为4，即，解得， 又的外心为，令三棱锥外接球的球心为，则平面， 有，四边形是直角梯形，设外接球的半径为， 于是，， 因此，解得，， 所以三棱锥的外接球的体积为. 19．【详解】（1）因为,, 所以, 即, 所以,所以. （2）由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以. （3）因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故, 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学学科暑期测试卷 一、单选题 1．若复数z满足，则（     ） A． B． C．2 D．4 2．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（     ）   A． B． C． D． 8．已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（     ） A．向量与可以作为平面内一组基底 B． C． D． 10．函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（    ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线与所成的角的大小为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 三、填空题 12．已知，，则在方向上的投影向量坐标为 ． 13.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ． 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 . 四、解答题 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 16．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为2，且，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积. 17．已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 18．已知E，F分别为的重心和外心，D是BC的中点，，． (1)求BE； (2)如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4． ①求证：； ②求三棱锥的外接球的体积． 19．如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.  (1)若，，求线段的长度; (2)若，求线段的最大值; (3)若平分，求与内切圆半径之比的取值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学学科暑期测试卷答题卡 班级： 姓名： 一、单选题： 1-4: 5—8: 二、多选题： 9: 10: 11: 三、填空题： 12: 13: 14: 四、解答题： 15、 16、 B C D B A C 17、 18、 F E 19、 A 6